對2P－1型素數的搜尋之旅就這樣出發了，先后投入這個漫漫長途的就有數學大師費馬、笛卡爾、萊布尼茲、哥德巴赫、歐拉、高斯、哈代、圖靈……這一個個閃光的名字正如暗夜前行的火炬手，照亮了人類通往未知的道路。

　　歷史的天空閃爍幾顆星

　　讓我們將坐上時間機器，回到過去，重新瀏覽這來路風光吧。

　　1456年，又一個沒有留下姓名的人發現了第5個2P－1型的素數：213－1。若是你就降生在那個年代，或許這次發現的光榮將歸屬于你。只是，你更有可能犯下和當時的人們一樣的錯誤，以為對于所有的素數P，2P－1都是素數。要知道，這個錯誤是近百年之后，直到1536年，才由雷吉烏斯(HudalricusRegius)打破的。他指出，211-1＝2047＝23×89，不是素數。

　　不過你的莽撞完全可以得到諒解，在黑暗中尋找的數學家正如年輕人一樣，犯下的錯誤連上帝都會原諒。第一個對這種類型的素數進行整理的皮特羅？卡塔爾迪(PietroCataldi)在他在1603年宣布的結果中就言之鑿鑿地說：對于p=17，19，23，29，31和37，2P－1是素數。只可惜，37年后，他的六個結果就被推翻了兩個，費爾馬使用著名的小費爾馬（不是那個更著名的大費爾馬定理）證明了卡塔爾迪關于P＝23和37的結論是錯誤的。

　　不知道下面的事實會不會讓你聯想到“屋漏偏逢連夜雨”呢？大約一百年后，1738年，歐拉證明了卡塔爾迪的結果中P＝29也是錯誤的。幸好，歐拉又證明了P＝31的結論是對的。

　　雖然，卡塔爾迪的六個結果“陣亡”了一半，但考慮到他是用手工計算取得結論的，而費爾馬和歐拉則是使用了在他們那時最先進的數學知識，避免了許多復雜的計算和因此可能造成的錯誤，因此我們仍然要對卡塔爾迪致敬。他也由此光榮地占據了第六個和第七個的發現者之位，在他之前的，都是無名氏。

　　卡塔爾迪的成功，說明了整理和預測是正確道路。繼他之后，集研究成果大成的，是17世紀法國著名的數學家和修道士馬林？梅森（MarinMersenne，1588-1648）。

　　梅森熱心于宗教，但更喜愛數學；他是一個交往廣泛、熱情誠摯的人，更是一座“科學信息交換站”。為什么呢？那時候，學術刊物、國際會議甚至科研機構都還沒有誕生。“及時雨”般的梅森是歐洲眾多科學家之間聯系的橋梁，大家把研究成果寄給他，然后再由他轉告給更多的人。費馬、笛卡爾等數學家每周在他家聚會，討論問題，就這樣慢慢形成的”梅森學院”，后來有了一個更響亮的名字——法蘭西科學院。

　　1644年，梅森在歐幾里得、費馬等人的有關研究的基礎上對2P－1作了大量的計算、驗證工作，并于1644年在他的《物理數學隨感》一書中斷言：對于P＝2、3、5、7、13、17、19、31、67、127、257時，2P－1是素數；而對于P等于其他所有小于257的數時，2P－1是合數。這里前7個數（即2，3，5，7，13，17和19）是在前人的工作已經證實的部分。而后面的4個數（即31，67，127和257）屬于被猜測的部分。不過，人們對他的斷言深信不疑，連大數學家萊布尼茲和哥德巴赫都認為它是對的。

　　梅森的工作極大地激發了人們研究2P－1型素數的熱情，成為素數研究的一個轉折點和里程碑。為了紀念他，數學界就把這種數稱為“梅森數”，并以Mp記之（其中M為梅森姓名的首字母），即Mp=2P－1。如果梅森數為素數，則稱之為“梅森素數”（即2P－1型素數）。

　　對梅森素數的驗證，需要進行艱巨的計算，即使是”猜測”部分中最小的M31=231－1=2147483647，也是一個10位數。而梅森自己則承認：“一個人，使用一般的驗證方法，要檢驗一個15位或20位的數字是否為素數，即使終生的時間也是不夠的。”年邁力衰的他四年之后就去世了，最終并沒有任何一個梅森素數的發現權歸屬于他，但考慮到他已經享有了“冠名權”，就把榮譽分給那些在漫漫長途上跋涉的發現者們吧！