小學數學故事：探尋之旅（一）

　　還記得年少時的夢嗎？

　　還記得你小學時背誦的素數表嗎？那時候它還叫做質數表“2、3、5、7……”如今你是否已經真正理解了老師說過的話：這些只能被1和本身整除的數，具有著無窮的魅力。

　　還記得你中學時計算的2的整數冪嗎？計算機時代，作為二進制的體現，它們正大行其道。“2、4、8、16、32、64、128、256……”十多年來，個人計算機內存的容量正是經歷了這些熟悉的數字，直到現在的2048M（2G）以及更多。

　　現在，讓我們從這些2的整數冪中挑出以素數為指數的，再把它減1，試試看會發現什么？22－1＝3、23－1＝7、25－1＝31、27－1＝127……

　　嗯，你的心是不是激動起來了？一個偉大的發現似乎就在眼前……

　　別急別急，你的發現很妙，只是有些兒惋惜……你已經遲到了二千年。

　　在2300多年前，古希臘的數學家，那位寫出不朽的《幾何原本》的歐幾里得在證明了素數有無窮多個之后，就順便指出：有許多素數可以寫成2P－1的形式，其中指數P也是素數。很容易想到，剛才你所發現的22－1、23－1、25－1、27－1正是其中排列最前的4個！

　　當P＝11、13、17、19、23……的時候，2P－1還是素數嗎？到底有多少這種2P－1型的素數呢？在計算能力低下的公元前，這個關于素數的探尋之旅就已經吸引了無數的人。

　　人們唯獨對素數如此著迷不是沒有理由的，它有著許多簡單而又美麗的猜想，有的已經成為定理，而有的則至今還沒有答案。例如著名的哥德巴赫猜想，讓人們苦苦追索：是否任何一個大于或等于6的偶數，都可以表示為兩個奇素數的和？再比如孿生素數問題所提出的：象5和7、41和43這樣相差2的素數，到底有多少對呢？

　　在數學史上起個大早的古希臘人還有許多關于素數的發現，完美數就是其中之一。畢達哥拉斯學派指出，如果一個數的所有因數（包括1但不包括它本身）的和正好等于它本身，則這個數就叫做完美數。很容易找到，6＝1＋2＋3是第一個完美數，28＝1＋2＋4＋7＋14則是第二個完美數。他們認為，上帝用6天創造了世界，因此6是最理想和完美的數字，而和6具有相同性質的數都堪稱完美數。

　　歐幾里得在《幾何原本》中證明了如果2P－1是一個素數，那么2P－1（2P－1）一定是一個完美數（你會發現，當P分別等于2、3時，它就對應著前兩個完美數6、28）。

　　再后來，歐拉進一步證明，每一個偶完美數也必定是歐幾里得所給出的形式。（不要問我奇完美數呢？就連它是否存在，本身也是無數個關于素數的難題中至今未解的一個。）

　　很容易看到，找到了2P－1形式的素數，也就發現了新的完美數。

　　形如2P－1的素數還長期占據了人們尋找到的最大素數的光榮榜（僅在1989年后被39158×2216193－1奪走三年），因為判斷這樣一個數是素數的方法比判斷一個差不多大小的其他類型數是素數的方法要簡單得多。