小學(xué)數(shù)學(xué)故事：探尋之旅（一）

　　還記得年少時(shí)的夢(mèng)嗎？

　　還記得你小學(xué)時(shí)背誦的素?cái)?shù)表嗎？那時(shí)候它還叫做質(zhì)數(shù)表“2、3、5、7……”如今你是否已經(jīng)真正理解了老師說(shuō)過(guò)的話：這些只能被1和本身整除的數(shù)，具有著無(wú)窮的魅力。

　　還記得你中學(xué)時(shí)計(jì)算的2的整數(shù)冪嗎？計(jì)算機(jī)時(shí)代，作為二進(jìn)制的體現(xiàn)，它們正大行其道。“2、4、8、16、32、64、128、256……”十多年來(lái)，個(gè)人計(jì)算機(jī)內(nèi)存的容量正是經(jīng)歷了這些熟悉的數(shù)字，直到現(xiàn)在的2048M（2G）以及更多。

　　現(xiàn)在，讓我們從這些2的整數(shù)冪中挑出以素?cái)?shù)為指數(shù)的，再把它減1，試試看會(huì)發(fā)現(xiàn)什么？22－1＝3、23－1＝7、25－1＝31、27－1＝127……

　　嗯，你的心是不是激動(dòng)起來(lái)了？一個(gè)偉大的發(fā)現(xiàn)似乎就在眼前……

　　別急別急，你的發(fā)現(xiàn)很妙，只是有些兒惋惜……你已經(jīng)遲到了二千年。

　　在2300多年前，古希臘的數(shù)學(xué)家，那位寫出不朽的《幾何原本》的歐幾里得在證明了素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)之后，就順便指出：有許多素?cái)?shù)可以寫成2P－1的形式，其中指數(shù)P也是素?cái)?shù)。很容易想到，剛才你所發(fā)現(xiàn)的22－1、23－1、25－1、27－1正是其中排列最前的4個(gè)！

　　當(dāng)P＝11、13、17、19、23……的時(shí)候，2P－1還是素?cái)?shù)嗎？到底有多少這種2P－1型的素?cái)?shù)呢？在計(jì)算能力低下的公元前，這個(gè)關(guān)于素?cái)?shù)的探尋之旅就已經(jīng)吸引了無(wú)數(shù)的人。

　　人們唯獨(dú)對(duì)素?cái)?shù)如此著迷不是沒(méi)有理由的，它有著許多簡(jiǎn)單而又美麗的猜想，有的已經(jīng)成為定理，而有的則至今還沒(méi)有答案。例如著名的哥德巴赫猜想，讓人們苦苦追索：是否任何一個(gè)大于或等于6的偶數(shù)，都可以表示為兩個(gè)奇素?cái)?shù)的和？再比如孿生素?cái)?shù)問(wèn)題所提出的：象5和7、41和43這樣相差2的素?cái)?shù)，到底有多少對(duì)呢？

　　在數(shù)學(xué)史上起個(gè)大早的古希臘人還有許多關(guān)于素?cái)?shù)的發(fā)現(xiàn)，完美數(shù)就是其中之一。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派指出，如果一個(gè)數(shù)的所有因數(shù)（包括1但不包括它本身）的和正好等于它本身，則這個(gè)數(shù)就叫做完美數(shù)。很容易找到，6＝1＋2＋3是第一個(gè)完美數(shù)，28＝1＋2＋4＋7＋14則是第二個(gè)完美數(shù)。他們認(rèn)為，上帝用6天創(chuàng)造了世界，因此6是最理想和完美的數(shù)字，而和6具有相同性質(zhì)的數(shù)都堪稱完美數(shù)。

　　歐幾里得在《幾何原本》中證明了如果2P－1是一個(gè)素?cái)?shù)，那么2P－1（2P－1）一定是一個(gè)完美數(shù)（你會(huì)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)P分別等于2、3時(shí)，它就對(duì)應(yīng)著前兩個(gè)完美數(shù)6、28）。

　　再后來(lái)，歐拉進(jìn)一步證明，每一個(gè)偶完美數(shù)也必定是歐幾里得所給出的形式。（不要問(wèn)我奇完美數(shù)呢？就連它是否存在，本身也是無(wú)數(shù)個(gè)關(guān)于素?cái)?shù)的難題中至今未解的一個(gè)。）

　　很容易看到，找到了2P－1形式的素?cái)?shù)，也就發(fā)現(xiàn)了新的完美數(shù)。

　　形如2P－1的素?cái)?shù)還長(zhǎng)期占據(jù)了人們尋找到的最大素?cái)?shù)的光榮榜（僅在1989年后被39158×2216193－1奪走三年），因?yàn)榕袛噙@樣一個(gè)數(shù)是素?cái)?shù)的方法比判斷一個(gè)差不多大小的其他類型數(shù)是素?cái)?shù)的方法要簡(jiǎn)單得多。