例3 數(shù)一數(shù)，下圖中有多少個(gè)點(diǎn)?

　　解：方法1：從上至下一層一層地?cái)?shù)，見下圖.

　　總點(diǎn)數(shù)=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45.

　　方法2：補(bǔ)上一個(gè)同樣的三角形點(diǎn)群(但要上下顛倒放置)和原有的那個(gè)三角形點(diǎn)群共同拼成一個(gè)長(zhǎng)方形點(diǎn)群，則顯然有下式成立(見下圖)：

　　三角形點(diǎn)數(shù)=長(zhǎng)方形點(diǎn)數(shù)÷2

　　因三角形點(diǎn)數(shù)=1+2+3+4+5+6+7+8+9

　　而長(zhǎng)方形點(diǎn)數(shù)=10×9=(1+9)×9

　　代入上面的文字公式可得：

　　1+2+3+4+5+6+7+8+9

　　=(1+9)×9÷2=45.

　　進(jìn)一步把兩種方法聯(lián)系起來(lái)看：

　　方法1是老老實(shí)實(shí)地直接數(shù)數(shù).

　　方法2可以叫做“拼補(bǔ)法”.經(jīng)拼補(bǔ)后，三角形點(diǎn)群變成了長(zhǎng)方形點(diǎn)群，而長(zhǎng)方形點(diǎn)群的點(diǎn)數(shù)就可以用乘法算式計(jì)算出來(lái)了.

　　即1+2+3+4+5+6+7+8+9

　　=(1+9)×9÷2.

　　這樣從算法方面講，拼補(bǔ)法的作用是把一個(gè)較復(fù)雜的連加算式變成了一個(gè)較簡(jiǎn)單的乘除算式了.這種方法在700多年前的中國(guó)的古算書上就出現(xiàn)了.

　　再進(jìn)一步，若脫離開圖形(點(diǎn)群)的背景，純粹從數(shù)的方面找規(guī)律，不難發(fā)現(xiàn)下述事實(shí)：

　　這個(gè)等式的左邊就是從1開始的連續(xù)自然數(shù)相加之和，第一個(gè)數(shù)1又叫首項(xiàng)，最后一個(gè)數(shù)9叫末項(xiàng)，共有9個(gè)數(shù)又可以說(shuō)成共有9項(xiàng)，這樣，等式的含義就可以用下面的語(yǔ)言來(lái)表述：

　　從1開始的連續(xù)自然數(shù)前幾項(xiàng)的和等于首項(xiàng)加末項(xiàng)之和乘以項(xiàng)數(shù)的積的一半.或是寫成下面的文字式：

　　和=(首項(xiàng)+末項(xiàng))×項(xiàng)數(shù)÷2

　　這個(gè)文字式通常又叫做等差數(shù)列求和公式.