小學數學故事：鬼谷子的難題

　　一日，鬼谷子在2--100這99個數字中選了2個數字，然后把它們的和告訴了龐涓，把積告訴了孫臏。當然，龐涓不知道積是多少，孫臏不知道和是多少。第二日，龐涓遇見孫臏很傲慢的對孫臏說：“雖然我不知道這兩個數是多少但是我肯定你也不知道。”孫臏立刻還擊道：“本來我不知道的，但是現在我知道這兩個數是多少了。”龐涓想了一會，說道：“現在我也知道這兩個數是多少了。”

　　請問這二個數各是多少？

　　1、龐涓能確定孫臏肯定不知道這兩個數，可以有這樣幾個推論。

　　A）龐涓手上的數字是5-197之間的數字。

　　B）龐涓的和數一定不能拆成兩個質數之和，否則就不會有確信。這可以分解為兩點：龐涓手上不是偶數，只可能是奇數，因為任意偶數能被拆成兩個質數之和，這是由歌德巴赫猜想來保證；龐涓手上的奇數不是2+質數。舉例：如果龐涓手上是28，根據歌德巴赫猜想可以拆成11+17，當孫臏拿到了181這個積，馬上就可以猜出鬼谷子給他的兩個數是11和17，與龐涓肯定孫臏不知道這兩個數相矛盾，因此將所有偶數排除。舉例：當龐涓手上的數為質數+2時，例如21，而正好是19+2，那樣孫臏手上的數是38，只有一種分解方法2*19，因此孫臏同樣一開始就能確定這兩個數字。

　　C)龐涓的和數一定不是大于53的奇數。因為大于53的奇數始終能夠拆成偶數和53（是質數）的乘積，這個乘積只能唯一的推斷出53和該偶數的乘積，否則就要大于99了。另外97是質數，同理應該排除97+2到97+98的所有奇數。最后剩下的是99+98的奇數，因為都是最大的數，孫臏本來就可以推理出來，與孫臏本來不知道的前提相矛盾，自然排除了。因此由此可以排除超過53以上的所有奇數。舉例：如果龐涓手上的數字是59，那有一種可能是53+6，當孫臏拿到318時也只有一種分解方式是53*6，因為106*3和159*2中的106和159都大于了99這個最大的數字，因此這與孫臏事先不能肯定相矛盾。同理可以推理到195=97+98這中間的所有奇數都被排除，因為97是質數。

　　因此，當龐涓手上是53以上的奇數不會有這種把握孫臏肯定不知道這兩個數。

　　D）這樣的數字有10個：11，17，23，27，29，35，37，47，51，53。

　　2、孫臏知道自己手中的積，并說本來不知道，但現在知道了。意味著，孫臏看了自己手上的積后分解因式對應的所有組合的和，只可能是上述10個數中的一個。也就是10個和數拆開的乘積不于其他和數拆開乘積重合的才可能是孫臏的積。這種積有許多種，關鍵是龐涓的第三句話。

　　3、龐涓是知道自己手中的和數，當孫臏說了這句話的時候，龐涓說也知道這兩個數字了，那龐涓手上的和數有一個特點，就是除一個例外的可能積，其他所有可能的積都包含在其他9個和數的可能積中間，否則龐涓沒有這種自信。也就是在10個和數中找出積的數組合中只有唯一一對數不出現在其他數字的積組合中，而所有其他任一數字的積組合必然有多對超出另外9個和數的積組合。

　　注意2、和3、小點中只有孫臏和龐涓知道自己手中的數字的時候才敢講這話，說明是有針對性的唯一的。仔細體會這點。

　　本人排出來是4和13。和數17，積為52。

　　17可以拆成（2+15），（4+13），（6+11），（8+9），（10+7），（12+5），（14+3）。

　　2*15=6*5，被和為11的包括了；6*11=33*2，被和為35的包括了；8*9=24*3，和為27；10*7=35*2，和為37；12*5=20*3，和為23；14*3=21*2，和為23。惟獨4*13是不能被另外所有9個數組合出來的積所覆蓋。