小學數學故事：關于“世界末日”的傳說

　　有這樣一段關于“世界末日”的傳說。在印度北部的一個佛教的圣廟里，桌上的黃銅板上，放著三根寶石針，每根長約0.5米。據說印度教的主神梵天在創造世界時，在其中的一根針上，自上而下由大到小放了六十四片金片。每天二十四小時內，都有僧侶值班，按照以下的規律，不停地把這些金片在三根寶石針上移來移去：每次只準移動一片，且不論在那根針上，較小的金片只能放在較大的金片上。當所有六十四片金片都從梵天創造世界時所放的那根針上移到另一根針上時，世界的末日就要到臨。

　　這雖是一個傳說，但卻引起人們的重視，大家都想知道僧侶移動完畢這六十四片金片需要多少時間。也就是說，人類在這個世界上還可以生存多少時間。讓我們來算算看。

　　設原來放置金片的寶石針為甲，其它兩根針為乙、丙。

　　1．設金片只有一片。顯然，只要移動1次即可。

　　2．設金片只有二片。可先將較小金片移至乙針上，較大金片移至丙針上，再將較小金片從乙針移至丙針上，共移動3次。

　　3．設金片有三片。可先將上面兩片金片移到乙上。按2可知，共需移動3次。再把第三片移至丙，又移一次。下面把乙上兩片移至丙同2，還需三次。以上共需

　　2·3+1=7（次）。

　　4．設金片有四片。先把上面三片移至乙，按3需7次。再把第四片從甲移到丙上，又移一次。最后，把較小的三片從乙移至丙，又需移7次。以上共需移動

　　2·7+1=15（次）。

　　依此遞推下去。設有k片金片，先將k-1片移至乙，需移動Sk-1次。然后再把第k片移至丙，又移一次。最后把k-1片從丙移至乙，又需Sk-1次。以上共需移動

　　（2·Sk-1+1）次。

　　這樣，我們可以得到如下的遞推式：

　　Sk=2·Sk-1+1。

　　根據這個遞推公式，分別令k=1，2，3，……，64，得

　　S1=1＝21-1；

　　S2=2S1+1=2（21-1）+1=22-1；

　　S3＝2S2+1=2（22-1）+1=23-1；

　　S4=2S3+1=2（23-1）+1=24-1；

　　………………

　　S64=264-1=18446744073709551615。

　　如果僧侶移動金片一次需要1秒鐘，移動這么多次共需約5845億年。把這個寓言和現代科學推測對比一下倒是有意思的。按照現代的宇宙進化論，恒星、太陽、行星（包括地球）是在三十億年前由不定形物質形成的。我們還知道，給恒星特別是給太陽提供能量的“原子燃料”還能維持100～150億年。因此，我們太陽系的整個壽命無疑要短于二百億年。可見遠不等僧侶們完成任務，地球早已毀滅了。