小學數學故事：探尋之旅（二）

　　那些手扛肩挑的年代

　　手算筆錄的時代，每前進一步，都顯得格外艱難。1772年，在卡塔爾迪提出近200年之后，瑞士數學家歐拉證明了M31確實是一個素數，這是人們找到的第8個梅森素數，它共有10位數，堪稱當時世界上已知的最大素數，歐拉也因此成為第二個在發現者名單上留名的人。讓人驚嘆的是，這是在他雙目失明的情況下，靠心算完成的。這種超人般的毅力與技巧讓歐拉獲得了“數學英雄”的美譽。法國大數學家拉普拉斯（P.Laplace）說的話，或許可以代表我們的心聲：“讀讀歐拉，他是我們每一個人的老師。”

　　100年后，法國數學家魯卡斯提出了一個用來判別Mp是否是素數的重要定理——魯卡斯定理，這為梅森素數的研究提供了有力的工具。1883年，數學家波佛辛（Pervushin）利用魯卡斯定理證明了M61也是素數–這是梅森漏掉了的。梅森還漏掉另外兩個素數：M89和M107，它們分別在1911年與1914年被數學家鮑爾斯（Powers）發現。

　　還記得梅森預測的四個素數嗎？其中M31已經為歐拉證明，M127則在魯卡斯提出定理時順帶證明，雖然中間漏掉了3個，但至少還有另外兩個：M67和M257是不是素數呢……

　　M67的證明又是一個精彩的故事。

　　1903年，數學家柯爾在美國數學學會的大會上作了一個報告。他先是專注地在黑板上算出267－1，接著又算出193707721×761838257287，兩個算式結果完全相同！換句話說，他成功地把267－1分解為兩個素數相乘的形式，從而證明了M67是個合數。

　　報告中，他一言未發，卻贏得了現場聽眾的起立鼓掌，更成了數學史上的佳話。閱讀這段歷史，我們懂得了什么叫做“事實勝于雄辯”。記者好奇地問他是怎樣得到這么精彩的發現的，柯爾回答“三年里的全部星期天”。他后來當選為美國數學協會的會長，去世后，該協會專門設立了“柯爾獎”，用于獎勵作出杰出貢獻的數學家。

　　1922年，數學家克萊契克驗證了M257并不是素數，而是合數（但他沒有給出這一合數的因子，直到20世紀80年代人們才知道它有3個素因子）。

　　于是乎，梅森的四個猜測獲得了兩正確、三遺漏和兩錯誤的成績，但這無損于他的光榮。在千年的探尋之旅中，偉大如歐拉也會犯錯誤，他在1750年宣布說找到了梅森的“遺漏”：M41和M47也是素數，但最終上M41和M47都不是素數。

　　直到1947年，對于p≤257的梅森素數Mp的正確結果才被確定，也就是當p=2，3，5，7，13，17，19，31，61，89，107和127時，Mp是素數。現在這個表已經被反復驗證，一定不會有錯誤了。

　　我們看到，在手工計算的時代，人們一共找到了12個梅森素數。

　　計算機！計算機！