實則不然，只要把上面那個表中C的名字劃去重新統計就會發現，仍然是一票制的情況下，結果會變成D高于B高于A，原先得票墊底的D才應該拿到這個offer！

　　（事實上，如果你有興趣，可以把退出的人從C換成D或者B或者A，你會發現在這個例子里無論誰退出競爭，剩下的人的得票順序都會整個顛倒過來。——當然這是精心構造的例子，一般說來不至于這么離譜。）

　　這個例子反映了投票制度的“混沌性”，或者說，結果對擾動的敏感依賴性。大家都知道的一句描述混沌現象的名言是“某地的一只蝴蝶扇動翅膀也許會影響到某一場颶風”，那么在這里我們可以說，“某一個次要競爭者的變化，也許會影響到重量級競爭者的崛起或者覆滅。”一個類似但是復雜得多的例子是在2008年年初的民主黨黨內初選中，希拉里和奧巴馬雙雄鼎立，希拉里略占優勢。而愛德華茲一直屈居第三，終于在“超級星期二”來臨之前的1月底宣布退出競爭，他的退出很快打破了希拉里和奧巴馬的平衡，部分地促成了奧巴馬在超級星期二之后的十連勝，最終逼得希拉里退選。

　　混沌性是由選舉制度本身決定的，但是對不同的選舉制度來說，其“混沌”的程度有所區別。關于排序投票制，D.Saari給出過下面的結果：對于三個以上的候選人來說，大多數排序投票制都會容許一些特例使得選舉結果在某一候選人退出時發生所有可能的劇變，只有少數投票法，例如Borda計票法，能夠在一定程度上避免這種變化的幅度，例如至少避免原本排名第一的候選人忽然變成排名墊底。

　　這看起來像是說Borda計票法比別的排序投票制都要好，但是這要看是在什么意義上說。畢竟，Borda計票法要求每個選民都要對所有的候選人有一個完整的傾向排序，這在實踐中往往是不可能實現的事情。而且正如上面的結果所描述的那樣，即使采用了Borda計票法，也不能從根本上排除混沌的存在。

　　事實上，在投票這件事情上，我們面對的不僅是簡單的數字游戲，而是人類社會最本質的問題之一：如何才有可能把社會中每個成員的意見，綜合成為一個社會的整體意見？有趣的是，對這個問題最好的回答之一是以數學形式得到的。經濟學巨擎，1972年諾貝爾經濟學獎得主K.Arrow在他的成名作SocialChoiceandIndividualValues中給出了著名的Arrow定理，在這里考慮的是比投票更為普遍的情況，即如果一個集體中每個成員都對給定的一系列選項（或者候選人）有一組偏好順序，那么一個“社會選擇機制”能夠在多好的程度上得到一個綜合的排序？換句話說，需要找到一個函數，把所有人的排序映射為一個綜合的排序，關于這個函數我們有下面這些自然的標準：

　　非獨裁性：這個函數的輸出意見不能總是等于同一個人的輸入意見，也就是說，不存在一個人的意見總是凌駕于所有人的意見之上。

　　帕雷托最優：如果在每個人的排序中A都優于B，在輸出結果中A也應當優于B。

　　無關因素獨立性：如果人們對C的看法改變了，不應當影響到結果中A和B的相對排序。

　　Arrow定理是說，只要有三個或更多的候選者，就不可能存在一個函數，或者說社會選擇機制，滿足這些標準。

　　這個定理有很多種通俗的（也是容易引起誤解的）解釋和陳述方式，比如“所有的投票都不公平”或者“唯一理想的決策方式是獨裁”，等等。但是事實上通過前面的討論，我們很容易意識到這三個條件里最苛刻的是最后一條，即無關因素獨立性。前兩條看起來都是很自然的要求（事實上帕雷托最優性也有其爭議性，不過這一點按下不表），只有第三條，我們已經看到，受制于投票機制的混沌特征，是非常難于滿足的。

　　這一結論看似是令人失望的。它意味著我們這個社會不僅暫時還不完美，而且永遠都不會完美。正像我們在許許多多別的領域中看到的那樣，這種不完美似乎是造物主的限定，也就是說，它并非出于某種粗糙的錯誤，而是理性和邏輯的必然。無論是數學中，還是自然科學中，這樣的例子都數不勝數。

　　但是也正像許許多多別的領域中類似的例子那樣，正是這些不完美才構成了這個世界的迷人之處。有了對現實中的不完美的解剖，和對更好的理想的無限追求，我們才有了演進的動力。正如深刻的理解了大洋彼岸這傳奇式的經驗和教訓，我們才能更了解自己前進的方向一樣。

　　而在這一切之中最迷人之處，則是這樣復雜的現實可以被這樣優美的數學所描述和論證。——誠然，人們對這個課題中的大量細節還所知甚少，還有大量的悖論等待澄清，大量的工具等待發明，但是第一步已經走了出去，人們已經意識到，人類的社會生活本身是有可能在某種程度上被數學語言所刻畫和約束的。自上世紀中葉以來，在這個領域中已經產生了若干位諾貝爾經濟學獎得主，也誕生了若干深刻漂亮的數學成果。社會科學和數學的交互作用已經成為蔚為大觀的潮流。

　　而正像D.Saari在一篇名為《數學與投票》的文章中所說的那樣，還有更多的挑戰和機會就在前面等待著，一切還只是個開始而已。