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數學家的故事:丟番圖猜想

來源:網絡資源 文章作者:奧數網整理 2018-08-21 13:49:16

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  公元3世紀前后,亞歷山大學派的學者丟番圖發現1,33,68,105中任何兩數之積再加上256,其和皆為某個有理數的平方。在丟番圖的上述發現約1300年后,法國業余數學家費馬發現數組:1,3,8,120中任意兩數之積再加上1后,其和均為完全平方數。此后,其神秘的面紗才逐步揭開。但問題也許并沒有完,人們也許還自然會想到:

  1,有上述性質的數組中,數的個數是否能超越四個。

  2,有無這樣的數組,在兩兩相乘后加其它數后,還能為完全平方數。對于任給的n個正整數a_1,a_2,…,a_n,總存在一個實數x,使得‖a_ix‖≥1/(n+1),i=1,2,…,n,成立,我們給出如下更一般的猜想:對于任給的n個正數a_1,a_2,…,a_n,總存在n個整數k_1,k_2,…,k_n,使得a_ik_j-a_jk_i≤n/(n+1)a_j-1/(n+1)a_i,對任給的i,j∈{1,2,…,n}成立、并且對更一般的猜想作了一些研究,給出了n=2,3時的證明,其方法較以前完全不同。

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