大盒內裝有黑、白棋子共1001+1000=2001（枚）。

　　因為每次都是摸出2枚棋子放回1枚棋子，所以每摸一次少1枚棋子，摸了1999次后，還剩2001-1999=2（枚）棋子。

　　從大盒內每次摸2枚棋子有以下兩種情況：

　　（1）所摸到的兩枚棋子是同顏色的。此時從小盒內取一枚黑棋子放入大盒內。當所摸兩枚棋子同是黑色，這時大盒內少了一枚黑棋子；當所摸兩枚棋子同是白色，這時大盒內多了一枚黑棋子。

　　（2）所摸到的兩枚棋子是不同顏色的，即一黑一白。這時要把拿出的白棋子放回到大盒，大盒內少了一枚黑棋子。

　　綜合（1）（2），每摸一次，大盒內的黑棋子總數不是少一枚就是多一枚，即改變了黑棋子數的奇偶性。原來大盒內有1000枚即偶數枚黑棋子，摸了1999次，即改變了1999次奇偶性后，還剩奇數枚黑棋子。因為大盒內只剩下2枚棋子，所以最后剩下的兩枚棋子是一黑一白。

　　2.    一串數排成一行：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…到這串數的第1000個數為止，共有多少個偶數？

　　分析與解：首先分析這串數的組成規律和奇偶數情況。

　　1+1=2，2+3=5，3+5=8， 5+8=13，…

　　這串數的規律是，從第三項起，每一個數等于前兩個數的和。根據奇偶數的加法性質，可以得出這串數的奇偶性：

　　奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，……

　　容易看出，這串數是按"奇，奇，偶"每三個數為一組周期變化的。 1000÷3=333……1，這串數的前1000個數有333組又1個數，每組的三個數中有1個偶數，并且是第3個數，所以這串數到第1000個數時，共有333個偶數。

　　三、拓展提升

　　1.在11，111，1111，11111，…這些數中，任何一個數都不會是某一個自然數的平方。這樣說對嗎？

　　2.一本書由17個故事組成，各個故事的篇幅分別是1，2，3，…，17頁。這17個故事有各種編排法，但無論怎樣編排，故事正文都從第1頁開始，以后每一個故事都從新一頁碼開始。如果要求安排在奇數頁碼開始的故事盡量少，那么最少有多少個故事是從奇數頁碼開始的？

　　3.桌子上放著6只杯子，其中3只杯口朝上，3只杯口朝下。如果每次翻轉5只杯子，那么至少翻轉多少次，才能使6只杯子都杯口朝上？

　　4.70個數排成一行，除了兩頭的兩個數以外，每個數的3倍都恰好等于它兩邊的兩個數的和，這一行數的最左邊的幾個數是這樣的：0，1，3，8，21，…問：最右邊的一個數是奇數還是偶數？

　　5.學校組織運動會，小明領回自己的運動員號碼后，小玲問他："今天發放的運動員號碼加起來是奇數還是偶數？"小明說："除開我的號碼，把今天發的其它號碼加起來，再減去我的號碼，恰好是100。"今天發放的運動員號碼加起來，到底是奇數還是偶數？

　　6.在黑板上寫出三個整數，然后擦去一個換成所剩兩數之和，這樣繼續操作下去，最后得到88，66，99。問：原來寫的三個整數能否是1，3，5？

　　答案

　　1.對。提示：因為平方數能被4整除或除以4余1，而形如111…11的數除以4的余數與11除以4的余數相同，余3，所以不是平方數。

　　2.5個。提示：與例4類似分析可知，先排9個奇數頁的故事，其中有5個從奇數頁開始，再排8個偶數頁的故事，都是從偶數頁碼開始。

　　3.3次。提示：見下表。

　　4.偶數。

　　提示：這行數的前面若干個數是：0，1，3，8，21，55，144，377，987，2584，…

　　這些數的奇偶狀況是：偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，……

　　從前到后按一偶二奇的順序循環出現。70÷3=23……1，第70個數是第24組數的第一個數，是偶數。

　　5.偶數。

　　提示：號碼總和等于100加上小明號碼的2倍。

　　6.不能。

　　提示：如果原來寫的是1，3，5，那么從第一次改變后，三個數永遠是兩個奇數一個偶數。

　　（十三） 周期性問題

　　在日常生活中，有一些現象按照一定的規律不斷重復出現。如：人調查十二生肖：鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬；一年有春夏秋冬四個季節；一個星期有七天等。像這樣日常生活中常碰到的有一定周期的問題，我們稱為簡單周期問題。這類問題一般要利用余數的知識來解決。

　　在研究這些簡單周期問題時，我們首先要仔細審題，判斷其不斷重復出現的規律，也就是找出循環的固定數，如果正好有個整數周期，結果為周期里的最后一個；如果不是從第一個開始循環，利用除法算式求出余數，最后根據余數的大小得出正確的結果。

　　一、例題與方法指導

　　例1.    某年的二月份有五個星期日，這年六月一日是星期_____.

　　思路導航：

　　因為7 4=28，由某年二月份有五個星期日，所以這年二月份應是29天，且2月1日與2月29日均為星期日，3月1日是星期一，所以從這年3月1日起到這年6月1日共經過了

　　31+30+31+1=93(天).

　　因為93 7=13…2，所以這年6月1日是星期二.

　　例2.    1989年12月5日是星期二,那么再過十年的12月5日是星期_____.

　　思路導航：

　　依題意知，這十年中1992年、1996年都是閏年，因此，這十年之中共有

　　365 10+2=3652（天）

　　因為（3652+1） 7=521…6，所以再過十年的12月5日是星期日.

　　[注]上述兩題(題1-題2)都是推斷若干天、若干月或若干年后某一天為星期幾，解答這類問題主要依據每周為七天循環的規律，運用周期性解答.在計算天數時,要根據"四年一閏，整百不閏，四百年才又一閏"的規定，即公歷年份不是整百數時，只要是4的倍數就是閏年，公歷年數為整百數時，必須是400的倍數才是閏年.

　　例3.    按下面擺法擺80個三角形,有_____個白色的.

　　……

　　思路導航：

　　從圖中可以看出,三角形按"二黑二白一黑一白"的規律重復排列，也就是這一排列的周期為6，并且每一周期有3個白色三角形.

　　因為80 6=13…2，而第十四期中前兩個三角形都是黑色的，所以共有白色三角形13 3=39（個）.

　　例4.    節日的校園內掛起了一盞盞小電燈，小明看出每兩個白燈之間有紅、黃、綠各一盞彩燈.也就是說,從第一盞白燈起,每一盞白燈后面都緊接著有3盞彩燈,小明想第73盞燈是_____燈.

　　思路導航：

　　依題意知,電燈的安裝排列如下:

　　白,紅,黃,綠,白,紅,黃,綠,白,……這一排列是按"白，紅，黃，綠"交替循環出現的，也就是這一排列的周期為4.

　　由73 4=18…1,可知第73盞燈是白燈.

　　例5.     時針現在表示的時間是14時正,那么分針旋轉1991周后,時針表示的時間是_____.

　　思路導航：

　　分針旋轉一周為1小時,旋轉1991周為1991小時.一天24小時,1991 24=82…23，1991小時共82天又23小時.現在是14時正,經過82天仍然是14時正,再過23小時,正好是13時.

　　[注]在圓面上,沿著圓周把1到12的整數等距排成一個圈,再加上一根長針和一根短針,就組成了我們天天見到的鐘面.鐘面雖然是那么的簡單平常,但在鐘面上卻包含著十分有趣的數學問題,周期現象就是其中的一個重要方面.

　　二、鞏固訓練

　　1. 把自然數1,2,3,4,5……如表依次排列成5列，那么數"1992"在_____列.

　　第一列    第二列    第三列    第四列    第五列

　　1    2    3    4    5

　　9    8    7    6

　　10    11    12    13    14

　　18    17    16    15

　　…    …    …    …    …

　　…    …    …    …

　　2. 把分數 化成小數后，小數點第110位上的數字是_____.

　　3. 循環小數 與 .這兩個循環小數在小數點后第_____位,首次同時出現在該位中的數字都是7.

　　4. 一串數: 1,9,9,1,4,1, 4,1,9,9,1,4,1,4,1,9,9,1,4,

　　……共有1991個數.

　　(1)其中共有_____個1,_____個9_____個4；

　　(2)這些數字的總和是_____.