五年級奧數題及答案:整除問題
1.整除問題
某個七位數1993□□□能夠同時被2、3、4、5、6、7、8、9整除,那么它的最后三位數是多少?
解答:320
2、3、4、5、6、7、8、9
的最小公倍數是5×7×8×9=2520
所以七位數1993□□□被2520整除。
又1994000÷2520=791…680
所以七位數 1994000-680=1993320能被2520整除。它的最后三位是320
2.整除性質
有15位同學,每位同學都有編號,他們是1號到15號。1號同學寫了一個自然數,2號說:"這個數能被2整除",3號說:"這個數能被3整 除",……,依次下去,每位同學都說,這個數能被他的編號數整除,1號作了一一驗證,只有編號相鄰的兩位同學說得不對,其余同學都對,問:(1)說得不對 的兩位同學,他們的編號是哪兩個連續自然數?(2)如果告訴你,1號寫的是五位數,請求出這個數。
解答:
(1)8和9說得不對;(2)60060
(1)首先可以判定編號是2、3、4、5、6、7號的同學說的一定都對。不然,其中說得不對的編號乘以2后所得編號也將說得不對。這個數能同時被2、5,3,4和2、7整除,則一定能被10、12、14整除,從而編號為10、12、14的同學說得對。由"兩個連續編號的同學說得錯"知,11,13,15號也說得對。因此,說的不對的兩個同學的編號是8和9.
。2)這個數是2、3、4、5、6、7、10、11、12、13、14、15的公倍數,因為
[2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,
15]=60060.因為60060是一個五位數,而上述12個數的其它公倍數不是五位數,所以1號同學寫的數就是60060