16.約數與倍數

　　約數和倍數：若整數a能夠被b整除，a叫做b的倍數，b就叫做a的約數。

　　公約數：幾個數公有的約數，叫做這幾個數的公約數;其中最大的一個，叫做這幾個數的最大公約數。

　　最大公約數的性質：

　　1、 幾個數都除以它們的最大公約數，所得的幾個商是互質數。

　　2、 幾個數的最大公約數都是這幾個數的約數。

　　3、 幾個數的公約數，都是這幾個數的最大公約數的約數。

　　4、 幾個數都乘以一個自然數m，所得的積的最大公約數等于這幾個數的最大公約數乘以m。

　　例如：12的約數有1、2、3、4、6、12;

　　18的約數有：1、2、3、6、9、18;

　　那么12和18的公約數有：1、2、3、6;

　　那么12和18最大的公約數是：6，記作（12，18）=6;

　　求最大公約數基本方法：

　　1、分解質因數法：先分解質因數，然后把相同的因數連乘起來。

　　2、短除法：先找公有的約數，然后相乘。

　　3、輾轉相除法：每一次都用除數和余數相除，能夠整除的那個余數，就是所求的最大公約數。

　　公倍數：幾個數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數;其中最小的一個，叫做這幾個數的最小公倍數。

　　12的倍數有：12、24、36、48……;

　　18的倍數有：18、36、54、72……;

　　那么12和18的公倍數有：36、72、108……;

　　那么12和18最小的公倍數是36，記作［12，18］=36;

　　最小公倍數的性質：

　　1、兩個數的任意公倍數都是它們最小公倍數的倍數。

　　2、兩個數最大公約數與最小公倍數的乘積等于這兩個數的乘積。

　　求最小公倍數基本方法：1、短除法求最小公倍數;2、分解質因數的方法

　　17.數的整除

　　一、基本概念和符號：

　　1、整除：如果一個整數a，除以一個自然數b，得到一個整數商c，而且沒有余數，那么叫做a能被b整除或b能整除a，記作b|a。

　　2、常用符號：整除符號“|”，不能整除符號“”;因為符號“∵”，所以的符號“∴”;

　　二、整除判斷方法：

　　1. 能被2、5整除：末位上的數字能被2、5整除。

　　2. 能被4、25整除：末兩位的數字所組成的數能被4、25整除。

　　3. 能被8、125整除：末三位的數字所組成的數能被8、125整除。

　　4. 能被3、9整除：各個數位上數字的和能被3、9整除。

　　5. 能被7整除：

　　①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成數之差能被7整除。

　　②逐次去掉最后一位數字并減去末位數字的2倍后能被7整除。

　　6. 能被11整除：

　　①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成的數之差能被11整除。

　　②奇數位上的數字和與偶數位數的數字和的差能被11整除。

　　③逐次去掉最后一位數字并減去末位數字后能被11整除。

　　7. 能被13整除：

　　①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成的數之差能被13整除。

　　②逐次去掉最后一位數字并減去末位數字的9倍后能被13整除。

　　三、整除的性質：

　　1. 如果a、b能被c整除，那么（a+b）與（a-b）也能被c整除。

　　2. 如果a能被b整除，c是整數，那么a乘以c也能被b整除。

　　3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

　　4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數整除。

　　18.余數及其應用

　　基本概念：對任意自然數a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0《 p》

　　余數的性質：

　　①余數小于除數。

　　②若a、b除以c的余數相同，則c|a-b或c|b-a。

　　③a與b的和除以c的余數等于a除以c的余數加上b除以c的余數的和除以c的余數。

　　④a與b的積除以c的余數等于a除以c的余數與b除以c的余數的積除以c的余數。

　　19.余數、同余與周期

　　一、同余的定義：

　　①若兩個整數a、b除以m的余數相同，則稱a、b對于模m同余。

　　②已知三個整數a、b、m，如果m|a-b，就稱a、b對于模m同余，記作a≡b（mod m），讀作a同余于b模m。

　　二、同余的性質：

　　①自身性：a≡a（mod m）;

　　②對稱性：若a≡b（mod m），則b≡a（mod m）;

　　③傳遞性：若a≡b（mod m），b≡c（mod m），則a≡ c（mod m）;

　　④和差性：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），則a+c≡b+d（mod m），a-c≡b-d（mod m）;

　　⑤相乘性：若a≡ b（mod m），c≡d（mod m），則a×c≡ b×d（mod m）;

　　⑥乘方性：若a≡b（mod m），則an≡bn（mod m）;

　　⑦同倍性：若a≡ b（mod m），整數c，則a×c≡ b×c（mod m×c）;

　　三、關于乘方的預備知識：

　　①若A=a×b，則MA=Ma×b=（Ma）b

　　②若B=c+d則MB=Mc+d=Mc×Md

　　四、被3、9、11除后的余數特征：

　　①一個自然數M，n表示M的各個數位上數字的和，則M≡n（mod 9）或（mod 3）;

　　②一個自然數M，X表示M的各個奇數位上數字的和，Y表示M的各個偶數數位上數字的和，則M≡Y-X或M≡11-（X-Y）（mod 11）;

　　五、費爾馬小定理：如果p是質數（素數），a是自然數，且a不能被p整除，則ap-1≡1（mod p）。

　　20.分數與百分數的應用

　　基本概念與性質：

　　分數：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數。

　　分數的性質：分數的分子和分母同時乘以或除以相同的數（0除外），分數的大小不變。

　　分數單位：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣一份的數。

　　百分數：表示一個數是另一個數百分之幾的數。

　　常用方法：

　　①逆向思維方法：從題目提供條件的反方向（或結果）進行思考。

　　②對應思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對應關系。

　　③轉化思維方法：把一類應用題轉化成另一類應用題進行解答。最常見的是轉換成比例和轉換成倍數關系;把不同的標準（在分數中一般指的是一倍量）下的分率轉化成同一條件下的分率。常見的處理方法是確定不同的標準為一倍量。

　　④假設思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設成相等或者假設某種情況成立，計算出相應的結果，然后再進行調整，求出最后結果。

　　⑤量不變思維方法：在變化的各個量當中，總有一個量是不變的，不論其他量如何變化，而這個量是始終固定不變的。有以下三種情況：A、分量發生變化，總量不變。B、總量發生變化，但其中有的分量不變。C、總量和分量都發生變化，但分量之間的差量不變化。

　　⑥替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數量關系單一化、量率關系明朗化。

　　⑦同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規律進行處理。

　　⑧濃度配比法：一般應用于總量和分量都發生變化的狀況。