例 21 191997被7除余幾？
解：從上面的結論知道，191997被7除的余數(shù)與21997被7除的余數(shù)相同.我們只要考慮一些2的連乘，被7除的余數(shù).
先寫出一列數(shù)
2，2×2＝4，2×2×2 ＝8，
2×2×2×2＝16，….
然后逐個用7去除，列一張表，看看有什么規(guī)律.列表如下：
事實上，只要用前一個數(shù)被7除的余數(shù)，乘以2，再被7除，就可以得到后一個數(shù)被7除的余數(shù).（為什么？請想一想.）
從表中可以看出，第四個數(shù)與第一個數(shù)的余數(shù)相同，都是2.根據(jù)上面對余數(shù)的計算，就知道，第五個數(shù)與第二個數(shù)余數(shù)相同，……因此，余數(shù)是每隔3個數(shù)循環(huán)一輪.循環(huán)的周期是3.
1997＝ 3× 665 ＋ 2.
就知道21997被7除的余數(shù)，與21997 被 7除的余數(shù)相同，這個余數(shù)是4.
再看一個稍復雜的例子.
例22 70個數(shù)排成一行，除了兩頭的兩個數(shù)以外，每個數(shù)的三倍都恰好等于它兩邊兩個數(shù)的和.這一行最左邊的幾個數(shù)是這樣的：
0，1，3，8，21，55，….
問：最右邊一個數(shù)（第70個數(shù)）被6除余幾？
解：首先要注意到，從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都恰好等于前一個數(shù)的3倍減去再前一個數(shù)：
3＝1×3-0，
8=3×3-1，
21=8×3-3，
55=21×3-8，
……
不過，真的要一個一個地算下去，然后逐個被6去除，那就太麻煩了.能否從前面的余數(shù)，算出后面的余數(shù)呢？能！同算出這一行數(shù)的辦法一樣（為什么？），從第三個數(shù)起，余數(shù)的計算辦法如下：
將前一個數(shù)的余數(shù)乘3，減去再前一個數(shù)的余數(shù)，然后被6除，所得余數(shù)即是.
用這個辦法，可以逐個算出余數(shù)，列表如下：
注意，在算第八個數(shù)的余數(shù)時，要出現(xiàn)0×3-1這在小學數(shù)學范圍不允許，因為我們求被6除的余數(shù)，所以我們可以 0×3加6再來減 1.
從表中可以看出，第十三、第十四個數(shù)的余數(shù)，與第一、第二個數(shù)的余數(shù)對應相同，就知道余數(shù)的循環(huán)周期是12.
70 ＝12×5+10.
因此，第七十個數(shù)被6除的余數(shù)，與第十個數(shù)的余數(shù)相同，也就是4.
在一千多年前的《孫子算經(jīng)》中，有這樣一道算術題：
“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”按照今天的話來說：
一個數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2，求這個數(shù).
這樣的問題，也有人稱為“韓信點兵”.它形成了一類問題，也就是初等數(shù)論中解同余式.這類問題的有解條件和解的方法被稱為“中國剩余定理”，這是由中國人首先提出的.目前許多小學數(shù)學的課外讀物都喜歡講這類問題，但是它的一般解法決不是小學生能弄明白的.這里，我們通過兩個例題，對較小的數(shù)，介紹一種通俗解法.
例23 有一個數(shù)，除以3余2，除以4余1，問這個數(shù)除以12余幾？
解：除以3余2的數(shù)有：
2， 5， 8， 11，14， 17， 20， 23….
它們除以12的余數(shù)是：
2，5，8，11，2，5，8，11，….
除以4余1的數(shù)有：
1， 5， 9， 13， 17， 21， 25， 29，….
它們除以12的余數(shù)是：
1， 5， 9， 1， 5， 9，….
一個數(shù)除以12的余數(shù)是唯一的.上面兩行余數(shù)中，只有5是共同的，因此這個數(shù)除以12的余數(shù)是5.
上面解法中，我們逐個列出被3除余2的整數(shù)，又逐個列出被4除余1的整數(shù)，然后逐個考慮被12除的余數(shù)，找出兩者共同的余數(shù)，就是被12除的余數(shù).這樣的列舉的辦法，在考慮的數(shù)不大時，是很有用的，也是同學們最容易接受的.
如果我們把例23的問題改變一下，不求被12除的余數(shù)，而是求這個數(shù).很明顯，滿足條件的數(shù)是很多的，它是
5＋ 12×整數(shù)，
整數(shù)可以取0，1，2，…，無窮無盡.事實上，我們首先找出5后，注意到12是3與4的最小公倍數(shù)，再加上12的整數(shù)倍，就都是滿足條件的數(shù).這樣就是把“除以3余2，除以4余1”兩個條件合并成“除以12余5”一個條件.《孫子算經(jīng)》提出的問題有三個條件，我們可以先把兩個條件合并成一個.然后再與第三個條件合并，就可找到答案.
