2.數(shù)的整除特征

　　（1）能被2整除的數(shù)的特征：

　　如果一個整數(shù)的個位數(shù)是偶數(shù)，那么它必能被2整除.

　　（2）能被5整除的數(shù)的特征：

　　如果一個整數(shù)的個位數(shù)字是0或5，那么它必能被5整除.

　　（3）能被3（或9）整除的數(shù)的特征：

　　如果一個整數(shù)的各位數(shù)字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除.

　　（4）能被4（或25）整除的數(shù)的特征：

　　如果一個整數(shù)的末兩位數(shù)能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除.

　　（5）能被8（或125）整除的數(shù)的特征：

　　如果一個整數(shù)的末三位數(shù)能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除.

　　（6）能被11整除的數(shù)的特征：

　　如果一個整數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字之和與偶數(shù)位數(shù)字之和的差（大減小）能被11整除，那么它必能被11整除.

　　是什么數(shù)字？

　　解：18=2×9，并且2與9互質(zhì)，根據(jù)前面的性質(zhì)4，可以分別考慮被2和9整除.

　　要被2整除，b只能是0，2，4，6，8.

　　再考慮被9整除，四個數(shù)字的和就要被9整除，已有7+4=11.

　　如果 b=0，只有 a=7，此數(shù)是 7740；

　　如果b=2，只有a=5，此數(shù)是7542；

　　如果b＝4，只有a＝3，此數(shù)是 7344；

　　如果 b＝6，只有 a＝1，此數(shù)是 7146；

　　如果b＝8，只有a＝8，此數(shù)是7848.

　　因此其中最小數(shù)是7146.

　　根據(jù)不同的取值，分情況進(jìn)行討論，是解決整數(shù)問題常用辦法，例1就是一個典型.

　　例2 一本老賬本上記著：72只桶，共□67.9□元，其中□處是被蟲蛀掉的數(shù)字，請把這筆賬補(bǔ)上.

　　解：把□67.9□寫成整數(shù)679，它應(yīng)被72整除.72＝9×8，9與8又互質(zhì).按照前面的性質(zhì)4，只要分別考慮679被8和被9整除.從被8整除的特征，79要被8整除，因此b＝2.從6792能被9整除，按照被9整除特征，各位數(shù)字之和+24能被9整除，因此a＝3.

　　這筆帳是367.92元.

　　例3 在1，2，3，4，5，6六個數(shù)字中選出盡可能多的不同數(shù)字組成一個數(shù)（有些數(shù)字可以重復(fù)出現(xiàn)），使得能被組成它的每一個數(shù)字整除，并且組成的數(shù)要盡可能小.

　　解：如果選數(shù)字5，組成數(shù)的最后一位數(shù)字就必須是5，這樣就不能被偶數(shù)2，4，6整除，也就是不能選2，4，6.為了要選的不同數(shù)字盡可能多，我們只能不選5，而選其他五個數(shù)字1，2，3，4，6.1+2+3+4+6＝16，為了能整除3和6，所用的數(shù)字之和要能被3整除，只能再添上一個2，16+2＝18能被3整除.為了盡可能小，又要考慮到最后兩位數(shù)能被4整除.組成的數(shù)是

　　122364.

　　例4 四位數(shù)7□4□能被55整除，求出所有這樣的四位數(shù).

　　解：55＝5×11，5與11互質(zhì)，可以分別考慮被5與11整除.

　　要被5整除，個位數(shù)只能是0或5.

　　再考慮被11整除.

　　（7+4）-（百位數(shù)字+0）要能被11整除，百位數(shù)字只能是0，所得四位數(shù)是7040.

　　（7+4）-（百位數(shù)字+5）要能被11整除，百位數(shù)字只能是6（零能被所有不等于零的整數(shù)整除），所得四位數(shù)是7645.

　　滿足條件的四位數(shù)只有兩個：7040，7645.