例1 數(shù)一數(shù)，圖3－1中共有多少點？



　　解：（1）方法1：如圖3－2所示從上往下一層一層數(shù)：



　　第一層 1個

　　第二層 2個

　　第三層 3個

　　第四層 4個

　　第五層 5個

　　第六層 6個

　　第七層 7個

　　第八層 8個

　　第九層 9個

　　第十層 10個

　　第十一層 9個

　　第十二層 8個

　　第十三層 7個

　　第十四層 6個

　　第十五層 5個

　　第十六層 4個

　　第十七層 3個

　　第十八層 2個

　　第十九層 1個

　　總數(shù)1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1

　　=（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+（9+8+7+6+5+4+3+2+1）

　　=55+45=100（利用已學過的知識計算）.

　　（2）方法2：如圖3－3所示：從上往下，沿折線數(shù)



　　第一層 1個

　　第二層 3個

　　第三層 5個

　　第四層 7個

　　第五層 9個

　　第六層 11個

　　第七層 13個

　　第八層 15個

　　第九層 17個

　　第十層 19個

　　總數(shù)：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100（利用已學過的知識計算）.

　　（3）方法3：把點群的整體轉(zhuǎn)個角度，成為如圖3－4所示的樣子，變成為10行10列的點陣.顯然點的總數(shù)為10×10=100（個）.



　　想一想：

　　①數(shù)數(shù)與計數(shù)，有時有不同的方法，需要多動腦筋.

　　②由方法1和方法3得出下式：

　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10

　　即等號左邊這樣的一串數(shù)之和等于中間數(shù)的自乘積.由此我們猜想：

　　1=1×1

　　1+2+1=2×2

　　1+2+3+2+1=3×3

　　1+2+3+4+3+2+1=4×4

　　1+2+3+4+5+4+3+2+1=5×5

　　1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=6×6

　　1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=7×7

　　1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1=8×8

　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=9×9

　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10

　　這樣的等式還可以一直寫下去，能寫出很多很多.

　　同學們可以自己檢驗一下，看是否正確，如果正確我們就發(fā)現(xiàn)了一條規(guī)律.

　　③由方法2和方法3也可以得出下式：

　　1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10.

　　即從1開始的連續(xù)奇數(shù)的和等于奇數(shù)個數(shù)的自乘積.由此我們猜想：

　　1+3=2×2

　　1+3+5=3×3

　　1+3+5+7=4×4

　　1+3+5+7+9=5×5

　　1+3+5+7+9+11=6×6

　　1+3+5+7+9+11+13=7×7

　　1+3+5+7+9+11+13+15=8×8

　　1+3+5+7+9+11+13+15+17=9×9

　　1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10

　　還可往下一直寫下去，同學們自己檢驗一下，看是否正確，如果正確，我們就又發(fā)現(xiàn)了一條規(guī)律.