——有生活的地方就有數學

　　相信很多人都會有這種印象：數學是一門深奧的科學，除了在學校和課本可以念到外，在實際生活中很少看到它，而且在日常生活中，除了加減乘除外，就很少用到它。

　　對于喜歡數學的人，他們在讀到一些數學家的傳記，或者關于他們的發現，往往會產生這樣的想法：這些人真的很聰明，如果不是天才怎么會發現這些難得的定理或理論呢？

　　這些看法和印象并不全部正確。今天我想告訴你的就是如果有天才的話，你也是一個天才。只要你有了一些基礎知識，你懂得一些研究的方法，也可以作一點研究，也會有新發現，數學并不是只有數學家才能研究的。

　　有生活的地方就有數學

　　人類靠著勞動的雙手創造了財富，數學也和其他科學一樣產生于實踐。可以說有生活的地方就有數學。

　　你看木匠要做一個橢圓的桌面，拿了二根釘釘在木板上，然后用一條打結的繩子和粉筆，就可以在木板上畫出一個漂亮的橢圓出來。

　　如果你時常郵寄信件，在貼郵票時你會發現一個這樣的現象：任何大于7元的整數款項的郵費，往往可以用票面值3元和5元的郵票湊合起來。這里就有數學。

　　如果你是整天要拿著刀和鑊鏟在廚房里工作的廚子，看來數學是和你無緣。可是你有沒有想到就在你的工作也會出現數學問題。奇怪嗎？事實上是不奇怪的。

　　比方說，你現在準備煮“麻婆豆腐”，你把一大堆豆腐放在砧板上，如果你不想用手去動豆腐，而想一刀刀切下去把豆腐切出越多塊越好。那么在最初一刀，你最多切出二塊，第二刀你切出四塊，第三刀你最多可以切出多少塊呢？你切了第五刀最多能切出多少塊呢？這里不是有數學問題嗎？你會驚奇有一個公式可以算出第n刀得出的塊數。

　　我們每天或多或少都會和錢打交道。你可能也會注意到這樣的現象：任何一筆多于6元的整數款項可以用2元硬幣及5元紙幣來支付。

　　不是嗎？7元可以用一張2元和一張5元的紙幣來支付，8元可以用四張2元紙幣，9元可以用二張2元紙幣和一張5元紙幣去支付。一般情形怎么樣呢？

　　你說這不是很容易嗎？如果錢數是偶數的話，我只要用若干張2元去應付就行了，如果是奇數的話，我只要先付一張5元鈔票，剩下的是偶數款項，當然就可以用2元紙幣去處理。是的，這里你就用到了整數的性質。

　　從這些例子你可以看到數學是在日常生活中是有用的，如果你細心的話，以后你會發現就在你工作的地方會有一些數學問題產生。

　　發現數學定理的秘訣

　　數學家是怎樣發現數學定理呢？他們是否有一個秘訣？如果能知道那是多好啊！

　　是的，這里有一個秘訣，下面的一個真實故事就會告訴你秘訣是在哪里？

　　在中國湖南省的一個農村生產隊，在1964年以前禾苗年年受到蟲害，糧食老是不夠，畝產最多是五百多斤。

　　那里的蟲害最厲害的是一種叫蟻螟的蟲，它們能使稻枯心，農民最初看到禾苗出現白線子才噴藥。可是農藥噴了，蟲卻沒治好。有一個農民看到這種情形，他決定要想法子根治這種蟲害，可是有人卻認為他文化低，不可能做出這樣的事來？但是他不理會這些意見。當第一代的螟蛾生出后，他就守在田邊觀看，看蛾子如何產卵，發現卵塊的地方就插標記，記下產卵日期，看它什么時候孵化。不管刮風下雨，日夜不離田邊，終于揭開了秘密。掌握到了這種蟲的生長規律，于是就有法子消滅它。以后也控制了其它蟲害，糧食畝產到目前增至一千二百多斤。

　　許多人承認在科學上的發現和發明：如物理上的落體定律，化學上的合成胰島素，鏈霉素，在生物上的發現遺傳規律，在醫學上用針灸醫治聾啞病癥者，都是需要依靠實驗和觀察。我說數學上的發現也是靠觀察得來的，讀者不是會覺得奇怪嗎？

　　數學是研究一些數、形、集合、關系和運算的性質和變化的規律，人們是怎樣知道這些性質和規律呢？

　　是不是像一些宣傳宗教的小冊子講，連那大名鼎鼎的17世紀的英國科學家牛頓，也是因為他很虔誠，為上帝所寵愛，讓一個蘋果在他頭上掉下，啟發他發現物理上的《萬有引力定律》？人的活動是上帝在操縱嗎？

　　讓我們看一看 18世紀的一個大數學家歐拉（Leonard Euler1707—1783）的一些意見吧！

　　歐拉在他的一篇：《純數學的觀察問題》的文章里寫道：“許多我們知道的整數的性質是靠觀察得來，這發現早已被它的嚴格證明所證實。還有很多整數的性質我們是很熟悉的，可是我們還不能證明；只有觀察引導我們對它們的認識。因此我們看到在數論——它還不是一個完整的理論中，我們可以寄厚望于觀察：它能連續引導我們新的性質，我們較后嘗試證明。那類靠觀察而取得的知識還沒有被證明，必需小心的和真理區別，像我們通常所說它是靠歸納所得的。我們看過單純的歸納會引起錯誤。因此我們要非常小心，不要把那一類我們靠觀察而由歸納得來的整數的性質當為正確無誤。事實上，我們要利用這發現為機會，去研究它的性質，去證明它或反證它，這兩方面我們都會學到有用的東西。”（見《歐拉全集》第二冊）

　　歐拉是瑞士人，一生大部份時間是在俄國和德國的科學院度過，對這兩個國家特別是俄國的數學發展有很大的貢獻。他是最多產的數學家，他在生之日已出版和發表五百多本書和文章，死后還留下二百多篇文章未發表，以及一大堆不太完整的手稿。

　　他的工作涉及的范圍很廣，單是數學就包含了當時的數學的差不多所有的分枝，在物理、天文、水利等等一些較有實用的科學他也作出過貢獻。

　　從1909年開始瑞士的自然科學會，準備出版他的全集，他的全集到現在還沒有出完，他留在列寧格勒（現改名為圣彼得堡）的一大堆手稿，因為內容太多，到現在還要花許多時間和氣力去整理。

　　為什么歐拉能作出這樣多的發現呢？在那篇《純數學的觀察問題》的文章里，他已告訴了你一個秘訣，就是：“依靠觀察得來的。”事實上歐拉也是一個善于觀察的數學家。

　　發現的工具是歸納和類比

　　18世紀的法國有一個農民家庭出身的數學家和天文學家——拉普拉斯（Pierre—Simon de laplace 1749—1827）。拉普拉斯是現代概率論的奠基者之一。學物理的人對他很熟。

　　他有一個很好的品德，就是對于年青一代的數學家當作自己的孩子，幫助他們和鼓勵他們。有一些人的發現事實上是他早在幾十年前就得到了，但他也是把這發現的榮譽讓給年青人而不是自己占有、或者像一些所謂“專家”對這些新生的力量，在妒忌之余，加以阻撓打擊。

　　拉普拉斯在關于概率論的哲學問題的一篇文章里曾經指出：“在數學這門科學里，我們發現真理的主要工具是歸納和類比（induction and analogy）。”這里他指出了發現數學定理的一個方法。