第十四講 列方程解應用題

   在小學數學中介紹了應用題的算術解法及常見的典型應用題。然而算術解法往往局限于從已知條件出發推出結論，不允許未知數參加計算，這樣，對于較復雜的應用題，使用算術方法常常比較困難。而用列方程的方法，未知數與已知數同樣都是運算的對象，通過找出“未知”與“已知”之間的相等關系，即列出方程（或方程組），使問題得以解決。所以對于應用題，列方程的方法往往比算術解法易于思考，易于求解。

　　列方程解應用題的一般步驟是：審題，設未知數，找出相等關系，列方程，解方程，檢驗作答。其中列方程是關鍵的一步，其實質是將同一個量或等量用兩種方式表達出來，而要建立這種相等關系必須對題目作細致分析，有些相等關系比較隱蔽，必要時要應用圖表或圖形進行直觀分析。

14.1  列簡易方程解應用題

　　10x+1，從而有 

　　3（105+x）=10x+1，

　　　　 　7x＝299999，

　　 　　　 x＝42857。

　　答：這個六位數為142857。

　　說明：這一解法的關鍵有兩點：

　　示出來，這里根據題目的特點，采用“整體”設元的方法很有特色。

　　（1）是善于分析問題中的已知數與未知數之間的數量關系；（2）是一般語言與數學的形式語言之間的相互關系轉化。因此，要提高列方程解應用題的能力，就應在這兩方面下功夫。

　　例2 有一隊伍以1.4米/秒的速度行軍，末尾有一通訊員因事要通知排頭，于是以2.6米/秒的速度從末尾趕到排頭并立即返回排尾，共用了10分50秒。問：隊伍有多長？

　　分析：這是一道“追及又相遇”的問題，通訊員從末尾到排頭是追及問題，他與排頭所行路程差為隊伍長；通訊員從排頭返回排尾是相遇問題，他與排尾所行路程和為隊伍長。如果設通訊員從末尾到排頭用了x秒，那么通訊員從排頭返回排尾用了（650-x）秒，于是不難列方程。

　　解：設通訊員從末尾趕到排頭用了x秒，依題意得

　　2.6x-1.4x=2.6（650-x）+1.4（650-x）。

　　解得x＝500。推知隊伍長為

　　（2.6-1.4）×500=600（米）。

　　答：隊伍長為600米。

　　說明：在設未知數時，有兩種辦法：一種是設直接未知數，求什么、設什么；另一種設間接未知數，當直接設未知數不易列出方程時，就設與要求相關的間接未知數。對于較難的應用題，恰當選擇未知數，往往可以使列方程變得容易些。

　　例3 鐵路旁的一條與鐵路平行的小路上，有一行人與騎車人同時向南行進，行人速度為3.6千米/時，騎車人速度為10.8千米/時，這時有一列火車從他們背后開過來，火車通過行人用22秒，通過騎車人用26秒，這列火車的車身總長是多少？

　　分析：本題屬于追及問題，行人的速度為3.6千米/時=1米/秒，騎車人的速度為10.8千米/時=3米/秒。火車的車身長度既等于火車車尾與行人的路程差，也等于火車車尾與騎車人的路程差。如果設火車的速度為x米/秒，那么火車的車身長度可表示為（x-1）×22或（x-3）×26，由此不難列出方程。

　　解：設這列火車的速度是x米/秒，依題意列方程，得

　　（x-1）×22=（x-3）×26。

　　解得x=14。所以火車的車身長為

　　（14-1）×22=286（米）。

　　答：這列火車的車身總長為286米。

　　例4 如圖，沿著邊長為90米的正方形，按逆時針方向，甲從A出發，每分鐘走65米，乙從B出發，每分鐘走72米。當乙第一次追上甲時在正方形的哪一條邊上？

　　分析：這是環形追及問題，這類問題可以先看成“直線”追及問題，求出乙追上甲所需要的時間，再回到“環行”追及問題，根據乙在這段時間內所走路程，推算出乙應在正方形哪一條邊上。

　　解：設追上甲時乙走了x分。依題意，甲在乙前方

　　3×90=270（米），

　　故有

　　72x＝65x+270。

　　由于正方形邊長為90米，共四條邊，故由

　　可以推算出這時甲和乙應在正方形的DA邊上。

　　答：當乙第一次追上甲時在正方形的DA邊上。