第十四講 列方程解應(yīng)用題
在小學(xué)數(shù)學(xué)中介紹了應(yīng)用題的算術(shù)解法及常見的典型應(yīng)用題。然而算術(shù)解法往往局限于從已知條件出發(fā)推出結(jié)論，不允許未知數(shù)參加計算，這樣，對于較復(fù)雜的應(yīng)用題，使用算術(shù)方法常常比較困難。而用列方程的方法，未知數(shù)與已知數(shù)同樣都是運算的對象，通過找出“未知”與“已知”之間的相等關(guān)系，即列出方程（或方程組），使問題得以解決。所以對于應(yīng)用題，列方程的方法往往比算術(shù)解法易于思考，易于求解。
列方程解應(yīng)用題的一般步驟是：審題，設(shè)未知數(shù)，找出相等關(guān)系，列方程，解方程，檢驗作答。其中列方程是關(guān)鍵的一步，其實質(zhì)是將同一個量或等量用兩種方式表達出來，而要建立這種相等關(guān)系必須對題目作細致分析，有些相等關(guān)系比較隱蔽，必要時要應(yīng)用圖表或圖形進行直觀分析。
14.1 列簡易方程解應(yīng)用題
10x+1，從而有
3（105+x）=10x+1，
7x＝299999，
x＝42857。
答：這個六位數(shù)為142857。
說明：這一解法的關(guān)鍵有兩點：
示出來，這里根據(jù)題目的特點，采用“整體”設(shè)元的方法很有特色。
（1）是善于分析問題中的已知數(shù)與未知數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系；（2）是一般語言與數(shù)學(xué)的形式語言之間的相互關(guān)系轉(zhuǎn)化。因此，要提高列方程解應(yīng)用題的能力，就應(yīng)在這兩方面下功夫。
例2 有一隊伍以1.4米/秒的速度行軍，末尾有一通訊員因事要通知排頭，于是以2.6米/秒的速度從末尾趕到排頭并立即返回排尾，共用了10分50秒。問：隊伍有多長？
分析：這是一道“追及又相遇”的問題，通訊員從末尾到排頭是追及問題，他與排頭所行路程差為隊伍長；通訊員從排頭返回排尾是相遇問題，他與排尾所行路程和為隊伍長。如果設(shè)通訊員從末尾到排頭用了x秒，那么通訊員從排頭返回排尾用了（650-x）秒，于是不難列方程。
解：設(shè)通訊員從末尾趕到排頭用了x秒，依題意得
2.6x-1.4x=2.6（650-x）+1.4（650-x）。
解得x＝500。推知隊伍長為
（2.6-1.4）×500=600（米）。
答：隊伍長為600米。
說明：在設(shè)未知數(shù)時，有兩種辦法：一種是設(shè)直接未知數(shù)，求什么、設(shè)什么；另一種設(shè)間接未知數(shù)，當(dāng)直接設(shè)未知數(shù)不易列出方程時，就設(shè)與要求相關(guān)的間接未知數(shù)。對于較難的應(yīng)用題，恰當(dāng)選擇未知數(shù)，往往可以使列方程變得容易些。
例3 鐵路旁的一條與鐵路平行的小路上，有一行人與騎車人同時向南行進，行人速度為3.6千米/時，騎車人速度為10.8千米/時，這時有一列火車從他們背后開過來，火車通過行人用22秒，通過騎車人用26秒，這列火車的車身總長是多少？
分析：本題屬于追及問題，行人的速度為3.6千米/時=1米/秒，騎車人的速度為10.8千米/時=3米/秒。火車的車身長度既等于火車車尾與行人的路程差，也等于火車車尾與騎車人的路程差。如果設(shè)火車的速度為x米/秒，那么火車的車身長度可表示為（x-1）×22或（x-3）×26，由此不難列出方程。
解：設(shè)這列火車的速度是x米/秒，依題意列方程，得
（x-1）×22=（x-3）×26。
解得x=14。所以火車的車身長為
（14-1）×22=286（米）。
答：這列火車的車身總長為286米。
例4 如圖，沿著邊長為90米的正方形，按逆時針方向，甲從A出發(fā)，每分鐘走65米，乙從B出發(fā)，每分鐘走72米。當(dāng)乙第一次追上甲時在正方形的哪一條邊上？
分析：這是環(huán)形追及問題，這類問題可以先看成“直線”追及問題，求出乙追上甲所需要的時間，再回到“環(huán)行”追及問題，根據(jù)乙在這段時間內(nèi)所走路程，推算出乙應(yīng)在正方形哪一條邊上。
解：設(shè)追上甲時乙走了x分。依題意，甲在乙前方
3×90=270（米），
故有
72x＝65x+270。
由于正方形邊長為90米，共四條邊，故由
可以推算出這時甲和乙應(yīng)在正方形的DA邊上。
答：當(dāng)乙第一次追上甲時在正方形的DA邊上。
