關(guān)于解析簇的周煒良定理

　　周煒良于1949年發(fā)表了一篇重要論文“關(guān)于緊復(fù)解析簇”．所謂解析簇V，是指對(duì)任何p∈V，總存在一組解析函數(shù)g1，g2，…，gn，和點(diǎn)p的一個(gè)鄰域B(p)，使得V∩B(p)中的點(diǎn)x都是g1，g2，…，gn的零點(diǎn)．這是一種局部性質(zhì)．由于多項(xiàng)式都是解析函數(shù)，所以代數(shù)簇都是解析簇．周煒良證明了某些情形下的逆命題：

　　“若V是n維復(fù)射影空間CPn中的閉解析子簇，那么它一定是代數(shù)簇，而且所有閉解析子簇間的半純映射，一定是有理映射”．

　　這一反映由局部性質(zhì)向整體性質(zhì)過(guò)渡的深刻結(jié)論，被稱為周煒良定理(ChowTheorem)，在代數(shù)幾何學(xué)著作中廣受重視．在許多論文里，常常把它作為新理論的出發(fā)點(diǎn)．

　　復(fù)解析流形

　　1950年前后，復(fù)解析流形的研究形成熱門(mén)課題．日本數(shù)學(xué)家小平邦彥(K．Kodaira)是這方面的專家，當(dāng)時(shí)也在美國(guó)工作，與周煒良有交往．1952年，周煒良證明了如下結(jié)果：“若V是復(fù)r維的緊復(fù)解析流形，F(xiàn)(V)是V上半純函數(shù)所構(gòu)成的域，則F(V)是有限的代數(shù)函數(shù)域，其超越維數(shù)s不會(huì)大于r．此外，還存在一s維的代數(shù)簇V＇以及V到V＇的半純變換T，使T可誘導(dǎo)出F(V)和F(V＇)間的同構(gòu)．特別地，如果可選擇V＇使得T還是雙正則變換，那么V必是代數(shù)簇．這就把復(fù)解析流形和代數(shù)簇聯(lián)系起來(lái)了．

　　把這個(gè)一般的結(jié)論用于二維的克勒(Khler)曲面，并用小平邦彥所建立的克勒流形上的黎曼-羅赫(Riemann-Roch)定理，就可以得出如下結(jié)論：“具有兩個(gè)獨(dú)立的半純函數(shù)的克勒曲面(即s=r=2的情形)一定是代數(shù)曲面．”這是周煒良和小平邦彥合作的論文中的一個(gè)結(jié)論，被稱為周-小平(Chow-Kodaira)定理．

　　周煒良簇和周煒良環(huán)

　　用周煒良坐標(biāo)可以對(duì)平面曲線和空間曲線進(jìn)行分類(lèi)．只要由已知的次數(shù)d和虧數(shù)g，從非奇異的空間射影曲線的周煒良坐標(biāo)形成所謂周煒良簇，就能很自然地用有限個(gè)擬射影簇將它參數(shù)化．

　　在射影簇研究上，另一個(gè)為人們稱道的周煒良引理(ChowLemma)，涉及完全簇和射影簇的關(guān)系．蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家И．Р．沙法列維奇(ЩaфapeВИЧ)在其名著《代數(shù)幾何基礎(chǔ)》中曾提到這一引理：

　　“對(duì)于每一個(gè)不可約的完全簇X，總有一個(gè)射影簇X＇，使得X和X＇之間有一雙有理同構(gòu)”．

　　周煒良在射影簇方面最著名的工作是提出周煒良環(huán)(ChowRing)．他于1956年發(fā)表的論文“關(guān)于代數(shù)簇上閉鏈的等價(jià)類(lèi)”中，提出了射影代數(shù)簇上代數(shù)閉鏈的有理等價(jià)性的系統(tǒng)理論．大意是：設(shè)V是n維射影空間Pn上的代數(shù)簇，其上的s維閉鏈所成的群為G(V，s)，與零鏈等價(jià)的閉鏈成子群Gr(V，s)．令Hr(V，s)是二者的商群．將s從1到n作直和，得Hr(V)=Hr(V，s)．

　　周煒良在Hr(V)上定義一種乘法，使之構(gòu)成環(huán)，這就是著名的周煒良環(huán)．它是結(jié)合的，交換的，具有單位元．這篇論文由M．F．阿蒂亞(Atiyah)寫(xiě)成文摘刊于美國(guó)的《數(shù)學(xué)評(píng)論》．

　　周煒良環(huán)具有很好的函子性質(zhì)：設(shè)p是兩代數(shù)簇X，V之間的模射，f：X→V，則V中閉鏈C的原象f-1(C)也是X中的閉鏈，且此運(yùn)算與相截(intersection)和有理等價(jià)性能夠相容．因此，它是代數(shù)幾何研究中的一項(xiàng)重要工具．周煒良環(huán)在許多情形可以代替上同調(diào)環(huán)．在證明各種黎曼-羅赫定理時(shí)，常用周煒良環(huán)去導(dǎo)出陳省身類(lèi)．著名的韋伊(Weil)猜想的解決，也可使用周煒良環(huán)．

　　另一個(gè)常被引用的結(jié)論是所謂周煒良運(yùn)動(dòng)定理(Chow’sMo-vingLemma)：若Y，Z是非奇異擬射影簇X中的兩閉鏈，則必存在與Z有理等價(jià)的閉鏈Z＇，使Y和Z＇具有相交性質(zhì)(inte-rsectproperty)．1970年在奧斯陸舉行的代數(shù)幾何會(huì)議上，有專文論述此定理．

　　關(guān)于阿貝爾簇的周煒良定理

　　20世紀(jì)40年代，A．韋伊(Weil)等開(kāi)創(chuàng)了阿貝爾簇的研究．他們把代數(shù)曲線上的雅可比(Jacobi)簇發(fā)展為一般代數(shù)流形上的皮卡-阿爾巴內(nèi)塞(Picard-Albanese)簇理論，將過(guò)去意大利學(xué)派的含糊結(jié)果加以澄清．周煒良對(duì)此作了豐富和發(fā)展，并推廣到特征p域的情形．周煒良在文獻(xiàn)［10］中證明對(duì)一般射影代數(shù)簇都存在雅可比簇．文獻(xiàn)［11］和［12］給出了阿貝爾簇的代數(shù)系統(tǒng)理論，其中有關(guān)可分(separable)、正則(regular)和本原擴(kuò)張(pri-maryextention)的論述，已成為這一領(lǐng)域的基本文獻(xiàn)．

　　周煒良還證明了以下結(jié)論：“若A是域k上的阿貝爾簇，B是定義在k的準(zhǔn)素?cái)U(kuò)張K上的阿貝爾子簇，那么B也在k上有意義．”S．郎(Lang)稱之為周煒良定理．

　　周煒良在1957年發(fā)表的關(guān)于阿貝爾簇的論文也反復(fù)被人引用．這一年，普林斯頓大學(xué)以數(shù)學(xué)名家萊夫謝茨的名義舉行“代數(shù)幾何與拓?fù)?rdquo;的科學(xué)討論會(huì)，韋伊和周煒良都參加了．他們兩人在會(huì)上宣讀的論文密切相關(guān)．韋伊證明任何阿貝爾簇都可嵌入射影空間，而周煒良則證明任何齊次簇(不必完備)也可嵌入射影空間．文章不長(zhǎng)，但解決得很徹底．

　　其他工作

　　周煒良在代數(shù)幾何領(lǐng)域的研究，涉及很廣．例如扎里斯基關(guān)于抽象代數(shù)幾何中的退化原理(degenerationprinciple)的論證，很長(zhǎng)而且難懂，周煒良把證明作了大幅度壓縮，并加以推廣．他和井草準(zhǔn)一(J．lgusa)合作，建立了環(huán)上代數(shù)簇的上同調(diào)理論．此外，還推廣了代數(shù)幾何中的連通性定理．在擴(kuò)充由W．V．霍奇(Hodge)與D．佩多(Pedoe)證明的格拉斯曼(Grassm-ann)簇的基本定理時(shí)，指出了某些環(huán)空間上的代數(shù)特性．這些都是很有價(jià)值的工作．退休之后，周煒良仍然研究不輟．1986年，他以75歲高齡，發(fā)表了題為“齊次空間上的形式函數(shù)(formalfunction)”的論文．

　　P．拉克斯(Lax)把周煒良列為最重要的移居美國(guó)的數(shù)學(xué)家之一．但他性情淡泊，甚至很少參加國(guó)際學(xué)術(shù)會(huì)議．他是臺(tái)北中央研究院院士，卻長(zhǎng)期不參加活動(dòng)．應(yīng)該說(shuō)，周煒良的學(xué)術(shù)成就遠(yuǎn)超過(guò)他應(yīng)得的榮譽(yù)．不過(guò)，各種代數(shù)幾何的論著不斷地引用周煒良的工作，并以周煒良的名字陸續(xù)命名一系列術(shù)語(yǔ)，這也許是更有意義的褒獎(jiǎng)了．