勾股定理在初中平面幾何課本中就學習過，其內容如下：“在直角三角形中，斜邊（弦）的平方等于兩直角邊（短者叫勾，長者叫股）平方的和”。

　　對這一定理的研究，我國古代數學家作出了巨大的貢獻。約在公元前100年成書的我國現存最古的一部數學典籍《周髀算經》中記載，在公元前1100多年我國數學家商高與周公談話中就明確提出了“勾廣三，股修四，弦隅五”，且在同一書中記載的榮方與陳子的問答中，更談到由勾股求弦的一般方法是“勾股各自乘，并而開方除之”，可見已給出了普遍的勾股定理。正因為商高首先提出了勾股定理，不少人把該定理稱之為商高定理。

　　在商高定理的研究方面作出貢獻的除中國古代數學家外，還有許多別的國家和民族的數學家，特別是古希臘、埃及、印度的數學家。公元前六世紀，古希臘數學家畢達哥拉斯（公元前582年一前497年）是西方第一個證明勾股定理的人，國外常稱其為畢達哥拉斯定理，相傳當畢氏找到證明商高定理的方法后，欣喜若狂，殺了100頭牛祭奉慶賀，故西方人亦稱之為“百牛定理”，而畢氏的證明早已失傳。古今中外有許多人探索商高定理的證明方法，不但有數學家，還有物理學家，甚至畫家、政治家。如趙爽（中）、梅文鼎（中）、歐幾里德（希臘）、辛卜松（英）、加菲爾德（美第二十屆總統）等等。其證明方法達數百種之多，這在數學史上是十分罕見的。

　　我國古代數學家商高發現了直角三角形勾、股、弦有3、4、5的關系，故人們稱滿足勾股弦的各組正整數為商高數。若以方程的觀點來看，方程的正整數解稱為商高數。商高數除3、4、5外，還有5，12，13；7，24，25；8，15，17；12，35，37；20，21，29等無窮多組。

　　求方程的整數解實際上是個不定方程問題。關于不定方程的研究我國最早，約在公元50年（東漢初年）成書的數學名著《九章算術》中出現了世界上最早的不定方程問題（“五家共井”問題），且該書給出了多組商高數。我國第三世紀數學家劉徽曾為《九章算術》作注（公元263年），明確給出了商高數的一般公式。古希臘數學家丟番圖（公元246年一330年）研究了整系數不定方程的整數解

　　（這類問題被稱為丟番圖方程），以著作《算術》名世，記述了189個不定方程問題。不定方程的全部原始解（兩兩互素的解）的公式是

　　a=2mn

　　其中m，n（m＞n）是互素的且一奇一偶的任意正整數。其實丟番圖沒有給出這個公式，中國的劉徽在《九章算術》注中用文字表述了這個公式，并作圖加以證明（圖已失傳，圖的說明傳下來了），這也是我國古代數學家的一大成就。

　　相隔1400多年，約公元1637年，費馬（公元1601—1665）在丟番圖的校注本《算術》第2卷第8命題“把一個平方數分為兩個平方數”旁的空白處，寫了一段批語：“把一個立方數分為兩個立方數，一個四次冪分為兩個四次冪，或一般地，把一個高于二次的冪分為兩個同次的冪，這是不可能的，關于這一點，我已發現了一種巧妙的證法，可惜這里空白的地方太小，寫不下”。費馬，法國人，律師，業余鉆研數學，很少發表作品，一些數學成果常寫在給朋友的信中或所讀書的空白處，由后人收集整理出版。費馬去世后，他兒子在整理他的遺物時發現了這段話，并于1670年公布于眾。這就是引起世人關注的費馬大定理，可表述為“當整數n＞2時，方程沒有正整數解。”

　　從費馬時代起，人們不斷進行費馬大定理的試證工作。巴黎科學院曾先后兩次提供獎章和獎金，布魯塞爾科學院也懸賞重金，獎勵證明該定理的人，但都無結果。1908年哥廷根皇家科學會懸賞十萬馬克，獎給最先證明這一定理的人，賞期100年。最初的證明是一個數一個數（或一部分數）的進行，但也不是那么簡單的工作，不知多少人耗盡了無數心血，取得了一些成果。如高斯、歐拉、萊布尼茨、勒讓德、狄里克雷、拉梅、庫默爾等許多著名數學家都作出了突出的貢獻。但都只是在某些特定條件下證明了這個定理，無疑離定理的證明還比較遙遠。人們曾經在費馬的遺稿、筆記、傳抄本，甚至其它任何可能的地方，去尋找他的證明方法，但都落空了。這的確是個“謎”，人們不得不懷疑，費馬是不是證明過這個定理，還是在什么地方弄錯了。

　　直接證明費馬大定理的艱巨困境促使人們按數學解決問題的傳統，就是要作變換，把問題轉化為已知的或易于解決的領域的新問題去解決。近三個多世紀來，經過包括黎曼、莫德爾等許多數學家艱苦卓絕、前赴后續的工作，把費馬大定理與代數曲線上的有理點（坐標都是有理數的點）聯系起來。種種轉化推動了數學相關領域的發展，也推動了費馬大定理的證明進程。英國年輕的數學家維爾斯（a·wiles．1953一）利用19世紀以來研究并發展起來的橢圓函數理論及其研究成果，最終證明了費馬大定理。1993年6月維爾斯長達200頁的論文評審時，被發現其證明有漏洞，1993年7月他開始修改論文，補正漏洞，1994年9月維爾斯終于克服困難，重寫了一篇108頁的證明論文，10月寄往美國《數學年刊》，順利通過審查，1995年5月《數學年刊》的41卷第3期上只登載了他的這一篇論文。維爾斯因此獲得了國際上頗有影響的科學獎──1995／1996年度沃爾夫數學獎，這一成果被認為是“20世紀最重大的數學成就”。

　　歷時幾千年的兩個定理，牽動著世界上不知多少代億萬人們的心，前人以堅韌的毅力，開拓創新的精神譜寫了科學知識寶庫中探寶的光輝篇章，還有許多寶藏等待后人開采。自然無限，創造永恒。