2008年11月4日，美國(guó)總統(tǒng)大選讓奧巴馬成為美國(guó)歷史上第一個(gè)黑人總統(tǒng)，也讓這個(gè)日子永載史冊(cè)。美國(guó)媒體在之前的宣傳中紛紛稱之為“你一生中最重要的一次投票”，——事實(shí)上，每次投票之前都會(huì)有類似的宣傳出現(xiàn)，但是這一次也許是最貼切的。

　　既然有投票，就有事前的機(jī)關(guān)算盡，事后的敗寇成王。美國(guó)人的情緒在那個(gè)特殊的夜晚激烈地動(dòng)蕩著，藕粉們（奧巴馬的支持者）紛紛稱之為美國(guó)歷史的新紀(jì)元，麥片們（麥凱恩的支持者）憤憤不平地說(shuō)奧巴馬只不過(guò)靠巧言令色才竊得大位，稀飯們（希拉里的支持者）則黯然神傷，來(lái)來(lái)去去想的都是“要是希拉莉當(dāng)時(shí)贏了民主黨初選……”。而在大洋此岸的中國(guó)，借助互聯(lián)網(wǎng)的幫助，大家也紛紛密切注視著這次大選中的種種風(fēng)吹草動(dòng)。在論壇里，在博客上，大家理直氣壯地談?wù)撝�發(fā)生在另一個(gè)國(guó)家里的選舉，在指點(diǎn)江山的快意之外，也心照不宣的把它視為某種意義上的借鏡。由于眾所周知的原因，我們對(duì)于投票這件事情的了解幾乎總是匱乏的，隔岸觀火，也不失為一個(gè)學(xué)習(xí)投票常識(shí)的辦法。

　　“且慢，”也許你會(huì)有異議，“如果說(shuō)選舉過(guò)程中的政治操作需要學(xué)習(xí)還可以接受的話，投票本身還有什么知識(shí)可言？一人一票的統(tǒng)計(jì)就是了啊。”

　　當(dāng)然不僅如此。正如我們所知，美國(guó)的選舉制度并非是簡(jiǎn)單的一人一票。事實(shí)上， “一人一票”并不一定是個(gè)自然的辦法——甚至也不一定是個(gè)好辦法。

　　讓我們從下面這個(gè)簡(jiǎn)單的例子開始。假設(shè)有一組人要從ABC三個(gè)候選人中選出一個(gè)來(lái)?yè)?dān)任某項(xiàng)職務(wù)。大家對(duì)這三個(gè)人的內(nèi)心偏好列如下表：

　　有2個(gè)人認(rèn)為A優(yōu)于B優(yōu)于C

　　有3個(gè)人認(rèn)為A優(yōu)于C優(yōu)于B

　　有2個(gè)人認(rèn)為C優(yōu)于B優(yōu)于A

　　有4個(gè)人認(rèn)為B優(yōu)于C優(yōu)于A

　　現(xiàn)在大家投票。按照每人投一票的原則，每個(gè)人給他心中最勝任的人選投上一票，結(jié)果是A得5票，B得4票，C得2票，排名是A高于B高于C，最后A當(dāng)選。看起來(lái)沒什么問(wèn)題。

　　如果換一個(gè)規(guī)則，假定大家認(rèn)為每人一票不足以反映民意，決定仍然按照上面的偏好順序投票，但是每個(gè)人分別投兩票給他認(rèn)為最勝任和次勝任的人選，那么結(jié)果會(huì)有多大差別？計(jì)算一下就會(huì)發(fā)現(xiàn)，最后A得5票，B得8票， C得9票，排名是C高于B高于A，當(dāng)選的是C，原先票數(shù)最高的A反而墊底！

　　上述怪誕的事實(shí)說(shuō)明，在選民意志不變的情形下，選舉規(guī)則的改變有時(shí)會(huì)在根本上顛覆（而非像直覺告訴我們的那樣至多小幅改變）選舉的結(jié)果。事實(shí)上，你很容易想到，除去上面所說(shuō)的一票制和兩票制，還有很多別的看似公平的選舉方式，例如數(shù)學(xué)家J. Borda在1770年批評(píng)法蘭西科學(xué)院選舉制度時(shí)提出來(lái)的Borda計(jì)票法。Borda認(rèn)為如果每個(gè)人只投一票，那么選民對(duì)自己心目中除最優(yōu)者之外的選項(xiàng)的偏好順序就完全無(wú)從在選舉中得以表達(dá)，而每人投兩票或者更多票也不公平，因?yàn)槟悄ㄉ妨嗣總�(gè)人心目中最優(yōu)和次優(yōu)的區(qū)別。他建議，比方說(shuō)還是有三個(gè)候選人的情況下，每個(gè)人給心目中的最優(yōu)者投兩票，次優(yōu)者投一票，第三名不投票，這是最能完整表達(dá)投票者偏好順序的方式。如果你把這個(gè)規(guī)則應(yīng)用到上面那個(gè)實(shí)例，結(jié)果會(huì)變成A得10票， B得12票，C得11票，排名是B高于C高于A，最后當(dāng)選的是B。——又是一個(gè)新結(jié)果。

　　事實(shí)上，把上面的論述抽象化一點(diǎn)。無(wú)論是一票制，兩票制，還是Borda投票制，都可以看成排序投票制的特例。所謂排序投票就是每個(gè)人給候選人在心中排好一個(gè)偏好次序，然后給每個(gè)次序上的人投一定票數(shù)。這聽起來(lái)是很合理的辦法，唯一的區(qū)別只是第幾名到底投幾票而已，而數(shù)學(xué)家D. Saari卻在上世紀(jì)末給出了下面這個(gè)荒謬的定理：

　　如果有n名候選人，那么可以找到合適的一組選民，使得這組選民在偏好不變的情況下，由不同的排序投票制給出多達(dá)(n-1)(n-1)!種不同的投票結(jié)果（這是一個(gè)非常大的組合數(shù)）。不僅如此，如果n>3，那么可以找到合適的一組選民，使得在選民偏好不變的情況下任何候選人都通過(guò)選擇一個(gè)合適的排序投票制當(dāng)選。

　　也許你會(huì)認(rèn)為這只是數(shù)學(xué)家們挖空心思構(gòu)造出來(lái)的別扭反例罷了，在很多情況下，比如說(shuō)，大家“萬(wàn)眾一心地”認(rèn)為A優(yōu)于B優(yōu)于C，那么無(wú)論怎么投票，最終都會(huì)是A當(dāng)選。這當(dāng)然是沒錯(cuò)的，不幸的事實(shí)是D. Saari和M. Tataru仔細(xì)估計(jì)了在三人競(jìng)選的情況下當(dāng)選民人數(shù)足夠多時(shí)這種“正常狀況”（也就是無(wú)論怎么投票都是同一個(gè)人當(dāng)選）和“異常情況”（也就是同樣的選民在不同的投票制度下選出不同的當(dāng)選人）的出現(xiàn)幾率，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，“正常情況”的概率只有30%左右，也就是說(shuō)，如果是三人競(jìng)選，那么大多數(shù)時(shí)候都能通過(guò)改變選舉制度來(lái)影響最后的當(dāng)選結(jié)果！

　　事實(shí)上，人們并不是第一天注意到選舉結(jié)果對(duì)選舉制度的強(qiáng)烈依賴性了。如果觀察一下西方國(guó)家的大選制度，會(huì)發(fā)現(xiàn)雖然它們都號(hào)稱是民主選舉，但是具體的投票辦法卻幾乎兩兩不同。以大家最為熟悉的美國(guó)總統(tǒng)大選為例，很多人都注意到，美國(guó)的大選并非全國(guó)統(tǒng)一計(jì)票，而是各州分別計(jì)票，然后每個(gè)州的勝者囊括該州的全部“選舉人票”（其數(shù)額根據(jù)各州人口比例事先確定）。這是從美國(guó)立國(guó)早期就形成的“選舉人團(tuán)”制度，其用意在于平衡州權(quán)，放大人數(shù)上居于弱勢(shì)的地區(qū)和團(tuán)體的利益，防止少數(shù)人的利益被忽視。舉例來(lái)說(shuō)，某一利益團(tuán)體或族群，比如亞裔，在全美的人口比例很小（占4%左右），那么如果全國(guó)統(tǒng)一計(jì)票，除非兩名候選人得票咬得很緊，否則這4%的偏好并不會(huì)被得到特殊的重視。但是在選舉人團(tuán)制度下，由于亞裔在某些州（譬如加州）的比例很高（12%），那么這些亞裔的投票傾向就會(huì)影響到加州全部選舉人票的走向，而加州的選舉人票在全美舉足輕重，于是本來(lái)人數(shù)很少的團(tuán)體的力量就會(huì)被這種杠桿效應(yīng)放大，從而得到更多的重視。二百年來(lái)這一投票辦法已經(jīng)成為美國(guó)政治制度的核心之一，雖然爭(zhēng)議頗多，但是至今沒有改變。

　　但是，正像我們前面看到的那樣，既然采用了同普遍計(jì)票法不同的計(jì)票方法，就要面對(duì)最終的當(dāng)選人同按照普遍計(jì)票法不一致的情況。最近（也是最著名）的例子是2000年總統(tǒng)大選，小布什以271張選舉人票對(duì)戈?duì)柕?66張選舉人票贏得了大選，而全國(guó)選票統(tǒng)計(jì)卻是戈?duì)栆?8.4%的得票率勝過(guò)小布什的47.9%的得票率。很顯然，戈?duì)柮鎸?duì)的是一個(gè)看似不公平的結(jié)果（當(dāng)然這取決于你怎樣定義公平），并且只要美國(guó)繼續(xù)采用選舉人團(tuán)制度，他就肯定不會(huì)是有此遭遇的最后一位競(jìng)選人。

　　回到我們一開始的問(wèn)題，既然同樣的一組選民可以在不同的選舉規(guī)則下給出不同的結(jié)果，那么有沒有別的方法來(lái)進(jìn)一步比較這些選舉規(guī)則的優(yōu)劣呢？或者換句話說(shuō)，如果事先定好選舉制度，還會(huì)有什么別的問(wèn)題可能發(fā)生呢？

　　讓我們考慮下面這個(gè)有趣的例子。假定一個(gè)部門要招聘一個(gè)新人，有四個(gè)人競(jìng)爭(zhēng)這個(gè)職位，在考察過(guò)他們的條件后部門內(nèi)部對(duì)他們進(jìn)行了評(píng)價(jià)，其中

　　有3個(gè)人認(rèn)為A優(yōu)于C優(yōu)于D優(yōu)于B

　　有6個(gè)人認(rèn)為A優(yōu)于D優(yōu)于C優(yōu)于B

　　有3個(gè)人認(rèn)為B優(yōu)于C優(yōu)于D優(yōu)于A

　　有5個(gè)人認(rèn)為B優(yōu)于D優(yōu)于C優(yōu)于A

　　有2個(gè)人認(rèn)為C優(yōu)于B優(yōu)于D優(yōu)于A

　　有5個(gè)人認(rèn)為C優(yōu)于D優(yōu)于B優(yōu)于A

　　有2個(gè)人認(rèn)為D優(yōu)于B優(yōu)于C優(yōu)于A

　　有4個(gè)人認(rèn)為D優(yōu)于C優(yōu)于B優(yōu)于A

　　如果事先約定只采用一票制，那么最后的結(jié)果是A 高于 B高于C高于D，于是人力部門決定給A發(fā)出offer。

　　假定就在此時(shí)，人力部門忽然收到C的通知，宣稱由于收到了別的公司的offer要退出這次申請(qǐng)。那么這個(gè)時(shí)候人力部門是應(yīng)該接著給A發(fā)offer，還是宣布由于競(jìng)爭(zhēng)者少了一位所以要重新投票呢？恐怕大多數(shù)人都會(huì)覺得，反正C本來(lái)得票也靠后，他的退出應(yīng)該無(wú)傷大局才對(duì)。

　　實(shí)則不然，只要把上面那個(gè)表中C的名字劃去重新統(tǒng)計(jì)就會(huì)發(fā)現(xiàn)，仍然是一票制的情況下，結(jié)果會(huì)變成D高于B高于A，原先得票墊底的D才應(yīng)該拿到這個(gè)offer！

　　（事實(shí)上，如果你有興趣，可以把退出的人從C換成D或者B或者A，你會(huì)發(fā)現(xiàn)在這個(gè)例子里無(wú)論誰(shuí)退出競(jìng)爭(zhēng)，剩下的人的得票順序都會(huì)整個(gè)顛倒過(guò)來(lái)。——當(dāng)然這是精心構(gòu)造的例子，一般說(shuō)來(lái)不至于這么離譜。）

　　這個(gè)例子反映了投票制度的“混沌性”，或者說(shuō)，結(jié)果對(duì)擾動(dòng)的敏感依賴性。大家都知道的一句描述混沌現(xiàn)象的名言是“某地的一只蝴蝶扇動(dòng)翅膀也許會(huì)影響到某一場(chǎng)颶風(fēng)”，那么在這里我們可以說(shuō)，“某一個(gè)次要競(jìng)爭(zhēng)者的變化，也許會(huì)影響到重量級(jí)競(jìng)爭(zhēng)者的崛起或者覆滅。”一個(gè)類似但是復(fù)雜得多的例子是在2008年年初的民主黨黨內(nèi)初選中，希拉里和奧巴馬雙雄鼎立，希拉里略占優(yōu)勢(shì)。而愛德華茲一直屈居第三，終于在“超級(jí)星期二”來(lái)臨之前的1月底宣布退出競(jìng)爭(zhēng)，他的退出很快打破了希拉里和奧巴馬的平衡，部分地促成了奧巴馬在超級(jí)星期二之后的十連勝，最終逼得希拉里退選。

　　混沌性是由選舉制度本身決定的，但是對(duì)不同的選舉制度來(lái)說(shuō)，其“混沌”的程度有所區(qū)別。關(guān)于排序投票制，D. Saari給出過(guò)下面的結(jié)果：對(duì)于三個(gè)以上的候選人來(lái)說(shuō)，大多數(shù)排序投票制都會(huì)容許一些特例使得選舉結(jié)果在某一候選人退出時(shí)發(fā)生所有可能的劇變，只有少數(shù)投票法，例如Borda計(jì)票法，能夠在一定程度上避免這種變化的幅度，例如至少避免原本排名第一的候選人忽然變成排名墊底。

　　這看起來(lái)像是說(shuō)Borda計(jì)票法比別的排序投票制都要好，但是這要看是在什么意義上說(shuō)。畢竟，Borda計(jì)票法要求每個(gè)選民都要對(duì)所有的候選人有一個(gè)完整的傾向排序，這在實(shí)踐中往往是不可能實(shí)現(xiàn)的事情。而且正如上面的結(jié)果所描述的那樣，即使采用了Borda計(jì)票法，也不能從根本上排除混沌的存在。

　　事實(shí)上，在投票這件事情上，我們面對(duì)的不僅是簡(jiǎn)單的數(shù)字游戲，而是人類社會(huì)最本質(zhì)的問(wèn)題之一：如何才有可能把社會(huì)中每個(gè)成員的意見，綜合成為一個(gè)社會(huì)的整體意見？有趣的是，對(duì)這個(gè)問(wèn)題最好的回答之一是以數(shù)學(xué)形式得到的。經(jīng)濟(jì)學(xué)巨擎，1972年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)得主K. Arrow在他的成名作Social Choice and Individual Values中給出了著名的Arrow定理，在這里考慮的是比投票更為普遍的情況，即如果一個(gè)集體中每個(gè)成員都對(duì)給定的一系列選項(xiàng)（或者候選人）有一組偏好順序，那么一個(gè)“社會(huì)選擇機(jī)制”能夠在多好的程度上得到一個(gè)綜合的排序？換句話說(shuō)，需要找到一個(gè)函數(shù)，把所有人的排序映射為一個(gè)綜合的排序，關(guān)于這個(gè)函數(shù)我們有下面這些自然的標(biāo)準(zhǔn)：

　　非獨(dú)裁性：這個(gè)函數(shù)的輸出意見不能總是等于同一個(gè)人的輸入意見，也就是說(shuō)，不存在一個(gè)人的意見總是凌駕于所有人的意見之上。

　　帕雷托最優(yōu)：如果在每個(gè)人的排序中A都優(yōu)于B，在輸出結(jié)果中A也應(yīng)當(dāng)優(yōu)于B。

　　無(wú)關(guān)因素獨(dú)立性：如果人們對(duì)C的看法改變了，不應(yīng)當(dāng)影響到結(jié)果中A和B的相對(duì)排序。

　　Arrow定理是說(shuō)，只要有三個(gè)或更多的候選者，就不可能存在一個(gè)函數(shù)，或者說(shuō)社會(huì)選擇機(jī)制，滿足這些標(biāo)準(zhǔn)。

　　這個(gè)定理有很多種通俗的（也是容易引起誤解的）解釋和陳述方式，比如“所有的投票都不公平”或者“唯一理想的決策方式是獨(dú)裁”，等等。但是事實(shí)上通過(guò)前面的討論，我們很容易意識(shí)到這三個(gè)條件里最苛刻的是最后一條，即無(wú)關(guān)因素獨(dú)立性。前兩條看起來(lái)都是很自然的要求（事實(shí)上帕雷托最優(yōu)性也有其爭(zhēng)議性，不過(guò)這一點(diǎn)按下不表），只有第三條，我們已經(jīng)看到，受制于投票機(jī)制的混沌特征，是非常難于滿足的。

　　這一結(jié)論看似是令人失望的。它意味著我們這個(gè)社會(huì)不僅暫時(shí)還不完美，而且永遠(yuǎn)都不會(huì)完美。正像我們?cè)谠S許多多別的領(lǐng)域中看到的那樣，這種不完美似乎是造物主的限定，也就是說(shuō)，它并非出于某種粗糙的錯(cuò)誤，而是理性和邏輯的必然。無(wú)論是數(shù)學(xué)中，還是自然科學(xué)中，這樣的例子都數(shù)不勝數(shù)。

　　但是也正像許許多多別的領(lǐng)域中類似的例子那樣，正是這些不完美才構(gòu)成了這個(gè)世界的迷人之處。有了對(duì)現(xiàn)實(shí)中的不完美的解剖，和對(duì)更好的理想的無(wú)限追求，我們才有了演進(jìn)的動(dòng)力。正如深刻的理解了大洋彼岸這傳奇式的經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，我們才能更了解自己前進(jìn)的方向一樣。

　　而在這一切之中最迷人之處，則是這樣復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)可以被這樣優(yōu)美的數(shù)學(xué)所描述和論證。——誠(chéng)然，人們對(duì)這個(gè)課題中的大量細(xì)節(jié)還所知甚少，還有大量的悖論等待澄清，大量的工具等待發(fā)明，但是第一步已經(jīng)走了出去，人們已經(jīng)意識(shí)到，人類的社會(huì)生活本身是有可能在某種程度上被數(shù)學(xué)語(yǔ)言所刻畫和約束的。自上世紀(jì)中葉以來(lái)，在這個(gè)領(lǐng)域中已經(jīng)產(chǎn)生了若干位諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)得主，也誕生了若干深刻漂亮的數(shù)學(xué)成果。社會(huì)科學(xué)和數(shù)學(xué)的交互作用已經(jīng)成為蔚為大觀的潮流。

　　而正像D. Saari在一篇名為《數(shù)學(xué)與投票》的文章中所說(shuō)的那樣，還有更多的挑戰(zhàn)和機(jī)會(huì)就在前面等待著，一切還只是個(gè)開始而已。