2008年11月4日，美國總統大選讓奧巴馬成為美國歷史上第一個黑人總統，也讓這個日子永載史冊。美國媒體在之前的宣傳中紛紛稱之為“你一生中最重要的一次投票”，——事實上，每次投票之前都會有類似的宣傳出現，但是這一次也許是最貼切的。

　　既然有投票，就有事前的機關算盡，事后的敗寇成王。美國人的情緒在那個特殊的夜晚激烈地動蕩著，藕粉們（奧巴馬的支持者）紛紛稱之為美國歷史的新紀元，麥片們（麥凱恩的支持者）憤憤不平地說奧巴馬只不過靠巧言令色才竊得大位，稀飯們（希拉里的支持者）則黯然神傷，來來去去想的都是“要是希拉莉當時贏了民主黨初選……”。而在大洋此岸的中國，借助互聯網的幫助，大家也紛紛密切注視著這次大選中的種種風吹草動。在論壇里，在博客上，大家理直氣壯地談論著發生在另一個國家里的選舉，在指點江山的快意之外，也心照不宣的把它視為某種意義上的借鏡。由于眾所周知的原因，我們對于投票這件事情的了解幾乎總是匱乏的，隔岸觀火，也不失為一個學習投票常識的辦法。

　　“且慢，”也許你會有異議，“如果說選舉過程中的政治操作需要學習還可以接受的話，投票本身還有什么知識可言？一人一票的統計就是了啊。”

　　當然不僅如此。正如我們所知，美國的選舉制度并非是簡單的一人一票。事實上， “一人一票”并不一定是個自然的辦法——甚至也不一定是個好辦法。

　　讓我們從下面這個簡單的例子開始。假設有一組人要從ABC三個候選人中選出一個來擔任某項職務。大家對這三個人的內心偏好列如下表：

　　有2個人認為A優于B優于C

　　有3個人認為A優于C優于B

　　有2個人認為C優于B優于A

　　有4個人認為B優于C優于A

　　現在大家投票。按照每人投一票的原則，每個人給他心中最勝任的人選投上一票，結果是A得5票，B得4票，C得2票，排名是A高于B高于C，最后A當選。看起來沒什么問題。

　　如果換一個規則，假定大家認為每人一票不足以反映民意，決定仍然按照上面的偏好順序投票，但是每個人分別投兩票給他認為最勝任和次勝任的人選，那么結果會有多大差別？計算一下就會發現，最后A得5票，B得8票， C得9票，排名是C高于B高于A，當選的是C，原先票數最高的A反而墊底！

　　上述怪誕的事實說明，在選民意志不變的情形下，選舉規則的改變有時會在根本上顛覆（而非像直覺告訴我們的那樣至多小幅改變）選舉的結果。事實上，你很容易想到，除去上面所說的一票制和兩票制，還有很多別的看似公平的選舉方式，例如數學家J. Borda在1770年批評法蘭西科學院選舉制度時提出來的Borda計票法。Borda認為如果每個人只投一票，那么選民對自己心目中除最優者之外的選項的偏好順序就完全無從在選舉中得以表達，而每人投兩票或者更多票也不公平，因為那抹煞了每個人心目中最優和次優的區別。他建議，比方說還是有三個候選人的情況下，每個人給心目中的最優者投兩票，次優者投一票，第三名不投票，這是最能完整表達投票者偏好順序的方式。如果你把這個規則應用到上面那個實例，結果會變成A得10票， B得12票，C得11票，排名是B高于C高于A，最后當選的是B。——又是一個新結果。

　　事實上，把上面的論述抽象化一點。無論是一票制，兩票制，還是Borda投票制，都可以看成排序投票制的特例。所謂排序投票就是每個人給候選人在心中排好一個偏好次序，然后給每個次序上的人投一定票數。這聽起來是很合理的辦法，唯一的區別只是第幾名到底投幾票而已，而數學家D. Saari卻在上世紀末給出了下面這個荒謬的定理：

　　如果有n名候選人，那么可以找到合適的一組選民，使得這組選民在偏好不變的情況下，由不同的排序投票制給出多達(n-1)(n-1)!種不同的投票結果（這是一個非常大的組合數）。不僅如此，如果n>3，那么可以找到合適的一組選民，使得在選民偏好不變的情況下任何候選人都通過選擇一個合適的排序投票制當選。

　　也許你會認為這只是數學家們挖空心思構造出來的別扭反例罷了，在很多情況下，比如說，大家“萬眾一心地”認為A優于B優于C，那么無論怎么投票，最終都會是A當選。這當然是沒錯的，不幸的事實是D. Saari和M. Tataru仔細估計了在三人競選的情況下當選民人數足夠多時這種“正常狀況”（也就是無論怎么投票都是同一個人當選）和“異常情況”（也就是同樣的選民在不同的投票制度下選出不同的當選人）的出現幾率，結果發現，“正常情況”的概率只有30%左右，也就是說，如果是三人競選，那么大多數時候都能通過改變選舉制度來影響最后的當選結果！

　　事實上，人們并不是第一天注意到選舉結果對選舉制度的強烈依賴性了。如果觀察一下西方國家的大選制度，會發現雖然它們都號稱是民主選舉，但是具體的投票辦法卻幾乎兩兩不同。以大家最為熟悉的美國總統大選為例，很多人都注意到，美國的大選并非全國統一計票，而是各州分別計票，然后每個州的勝者囊括該州的全部“選舉人票”（其數額根據各州人口比例事先確定）。這是從美國立國早期就形成的“選舉人團”制度，其用意在于平衡州權，放大人數上居于弱勢的地區和團體的利益，防止少數人的利益被忽視。舉例來說，某一利益團體或族群，比如亞裔，在全美的人口比例很小（占4%左右），那么如果全國統一計票，除非兩名候選人得票咬得很緊，否則這4%的偏好并不會被得到特殊的重視。但是在選舉人團制度下，由于亞裔在某些州（譬如加州）的比例很高（12%），那么這些亞裔的投票傾向就會影響到加州全部選舉人票的走向，而加州的選舉人票在全美舉足輕重，于是本來人數很少的團體的力量就會被這種杠桿效應放大，從而得到更多的重視。二百年來這一投票辦法已經成為美國政治制度的核心之一，雖然爭議頗多，但是至今沒有改變。

　　但是，正像我們前面看到的那樣，既然采用了同普遍計票法不同的計票方法，就要面對最終的當選人同按照普遍計票法不一致的情況。最近（也是最著名）的例子是2000年總統大選，小布什以271張選舉人票對戈爾的266張選舉人票贏得了大選，而全國選票統計卻是戈爾以48.4%的得票率勝過小布什的47.9%的得票率。很顯然，戈爾面對的是一個看似不公平的結果（當然這取決于你怎樣定義公平），并且只要美國繼續采用選舉人團制度，他就肯定不會是有此遭遇的最后一位競選人。

　　回到我們一開始的問題，既然同樣的一組選民可以在不同的選舉規則下給出不同的結果，那么有沒有別的方法來進一步比較這些選舉規則的優劣呢？或者換句話說，如果事先定好選舉制度，還會有什么別的問題可能發生呢？

　　讓我們考慮下面這個有趣的例子。假定一個部門要招聘一個新人，有四個人競爭這個職位，在考察過他們的條件后部門內部對他們進行了評價，其中

　　有3個人認為A優于C優于D優于B

　　有6個人認為A優于D優于C優于B

　　有3個人認為B優于C優于D優于A

　　有5個人認為B優于D優于C優于A

　　有2個人認為C優于B優于D優于A

　　有5個人認為C優于D優于B優于A

　　有2個人認為D優于B優于C優于A

　　有4個人認為D優于C優于B優于A

　　如果事先約定只采用一票制，那么最后的結果是A 高于 B高于C高于D，于是人力部門決定給A發出offer。

　　假定就在此時，人力部門忽然收到C的通知，宣稱由于收到了別的公司的offer要退出這次申請。那么這個時候人力部門是應該接著給A發offer，還是宣布由于競爭者少了一位所以要重新投票呢？恐怕大多數人都會覺得，反正C本來得票也靠后，他的退出應該無傷大局才對。

　　實則不然，只要把上面那個表中C的名字劃去重新統計就會發現，仍然是一票制的情況下，結果會變成D高于B高于A，原先得票墊底的D才應該拿到這個offer！

　　（事實上，如果你有興趣，可以把退出的人從C換成D或者B或者A，你會發現在這個例子里無論誰退出競爭，剩下的人的得票順序都會整個顛倒過來。——當然這是精心構造的例子，一般說來不至于這么離譜。）

　　這個例子反映了投票制度的“混沌性”，或者說，結果對擾動的敏感依賴性。大家都知道的一句描述混沌現象的名言是“某地的一只蝴蝶扇動翅膀也許會影響到某一場颶風”，那么在這里我們可以說，“某一個次要競爭者的變化，也許會影響到重量級競爭者的崛起或者覆滅。”一個類似但是復雜得多的例子是在2008年年初的民主黨黨內初選中，希拉里和奧巴馬雙雄鼎立，希拉里略占優勢。而愛德華茲一直屈居第三，終于在“超級星期二”來臨之前的1月底宣布退出競爭，他的退出很快打破了希拉里和奧巴馬的平衡，部分地促成了奧巴馬在超級星期二之后的十連勝，最終逼得希拉里退選。

　　混沌性是由選舉制度本身決定的，但是對不同的選舉制度來說，其“混沌”的程度有所區別。關于排序投票制，D. Saari給出過下面的結果：對于三個以上的候選人來說，大多數排序投票制都會容許一些特例使得選舉結果在某一候選人退出時發生所有可能的劇變，只有少數投票法，例如Borda計票法，能夠在一定程度上避免這種變化的幅度，例如至少避免原本排名第一的候選人忽然變成排名墊底。

　　這看起來像是說Borda計票法比別的排序投票制都要好，但是這要看是在什么意義上說。畢竟，Borda計票法要求每個選民都要對所有的候選人有一個完整的傾向排序，這在實踐中往往是不可能實現的事情。而且正如上面的結果所描述的那樣，即使采用了Borda計票法，也不能從根本上排除混沌的存在。

　　事實上，在投票這件事情上，我們面對的不僅是簡單的數字游戲，而是人類社會最本質的問題之一：如何才有可能把社會中每個成員的意見，綜合成為一個社會的整體意見？有趣的是，對這個問題最好的回答之一是以數學形式得到的。經濟學巨擎，1972年諾貝爾經濟學獎得主K. Arrow在他的成名作Social Choice and Individual Values中給出了著名的Arrow定理，在這里考慮的是比投票更為普遍的情況，即如果一個集體中每個成員都對給定的一系列選項（或者候選人）有一組偏好順序，那么一個“社會選擇機制”能夠在多好的程度上得到一個綜合的排序？換句話說，需要找到一個函數，把所有人的排序映射為一個綜合的排序，關于這個函數我們有下面這些自然的標準：

　　非獨裁性：這個函數的輸出意見不能總是等于同一個人的輸入意見，也就是說，不存在一個人的意見總是凌駕于所有人的意見之上。

　　帕雷托最優：如果在每個人的排序中A都優于B，在輸出結果中A也應當優于B。

　　無關因素獨立性：如果人們對C的看法改變了，不應當影響到結果中A和B的相對排序。

　　Arrow定理是說，只要有三個或更多的候選者，就不可能存在一個函數，或者說社會選擇機制，滿足這些標準。

　　這個定理有很多種通俗的（也是容易引起誤解的）解釋和陳述方式，比如“所有的投票都不公平”或者“唯一理想的決策方式是獨裁”，等等。但是事實上通過前面的討論，我們很容易意識到這三個條件里最苛刻的是最后一條，即無關因素獨立性。前兩條看起來都是很自然的要求（事實上帕雷托最優性也有其爭議性，不過這一點按下不表），只有第三條，我們已經看到，受制于投票機制的混沌特征，是非常難于滿足的。

　　這一結論看似是令人失望的。它意味著我們這個社會不僅暫時還不完美，而且永遠都不會完美。正像我們在許許多多別的領域中看到的那樣，這種不完美似乎是造物主的限定，也就是說，它并非出于某種粗糙的錯誤，而是理性和邏輯的必然。無論是數學中，還是自然科學中，這樣的例子都數不勝數。

　　但是也正像許許多多別的領域中類似的例子那樣，正是這些不完美才構成了這個世界的迷人之處。有了對現實中的不完美的解剖，和對更好的理想的無限追求，我們才有了演進的動力。正如深刻的理解了大洋彼岸這傳奇式的經驗和教訓，我們才能更了解自己前進的方向一樣。

　　而在這一切之中最迷人之處，則是這樣復雜的現實可以被這樣優美的數學所描述和論證。——誠然，人們對這個課題中的大量細節還所知甚少，還有大量的悖論等待澄清，大量的工具等待發明，但是第一步已經走了出去，人們已經意識到，人類的社會生活本身是有可能在某種程度上被數學語言所刻畫和約束的。自上世紀中葉以來，在這個領域中已經產生了若干位諾貝爾經濟學獎得主，也誕生了若干深刻漂亮的數學成果。社會科學和數學的交互作用已經成為蔚為大觀的潮流。

　　而正像D. Saari在一篇名為《數學與投票》的文章中所說的那樣，還有更多的挑戰和機會就在前面等待著，一切還只是個開始而已。