63.變幻無窮的彩燈
少年宮游樂廳內懸掛著200 個彩色燈泡,這些燈或亮或暗,變幻無窮。
200 個燈泡按1~200 編號。燈泡的亮暗規則是:第1 秒,全部燈泡變亮;第2 秒,凡編號為2 的倍數的燈泡由亮變暗;第3 秒,凡編號為3 的倍數的燈泡改變原來的亮暗狀態(即亮的變暗,暗的變亮);第4 秒,凡編號為4 的倍數的燈泡改變原來亮暗狀態。這樣繼續下去,……200 秒為一周期。當第200 秒時,哪些燈是亮著的?
分析與解
在解答這個問題時,我們要用到這樣一個知識:任何一個非平方數,它的全體約數的個數是偶數;任何一個平方數,它的全體約數的個數是奇數。例如,6 和18 都是非平方數,6 的約數有:1、2、3、6,共4 個;18 的約數有1、2、3、6、9、18,共6 個。它們的約數的個數都是偶數。又例如,16 和25 都是平方數,16 的約數有:1、2、4、8、16,共5 個;25 的約數有1、5、25,共3 個。它們的約數的個數都是奇數。
回到本題。本題中,最初這些燈泡都是暗的。第一秒,所有燈都變亮了;第2 秒,編號為2 的倍數(即偶數)的燈由亮變暗;第3 秒,編號為3 的倍數的燈改變原來的亮暗狀態,就是說,3 號燈由亮變暗,可是6 號燈則由暗變亮,而9 號燈卻由亮變暗……。這樣推下去,很難理出個頭緒來。
正確的解題思路應該是這樣的:凡是亮暗變化是偶數次的燈,一定回到最初狀態,即是暗著的。只有亮暗變化是奇數次的燈,才是亮著的。因此,只要考慮從第1 秒到第200 秒這段時間,每盞燈變化次數的奇偶性就可判斷燈的亮暗狀態。
一個號碼為a 的燈,如果有7 個約數,那么它的亮暗變化就是7 次,所以每盞燈在第200 秒時是亮還是暗決定于每盞燈的編號的約數是奇數還是偶數。我們已知道,只有平方數的全部約數的個數是奇數。這樣1~200 之間,只有1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196 這14個數為平方數,因而這些號碼的燈是亮著的,而其余各盞燈則都是暗著的。
用奇偶性分析解題,是我們經常用的一種解題方法,既靈活又有趣。