數(shù)學(xué)的確提出了大量問題。事實上，數(shù)學(xué)和問題是分不開的。歷史證明，數(shù)學(xué)概念成了數(shù)學(xué)問題的催化劑，數(shù)學(xué)問題又激發(fā)了許多數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)。古代三大不可能作圖題①、柯尼斯堡橋問題②和平行公設(shè)問題③是歷史上已經(jīng)得到解決并在解決過程中激發(fā)數(shù)學(xué)思維、概念和發(fā)現(xiàn)的典型問題。提出數(shù)學(xué)問題，思考數(shù)學(xué)問題，細(xì)閱答案證明，是推動數(shù)學(xué)家前進的動力。

　　下面是幾個著名的“未解決”數(shù)學(xué)問題：

　　未解決的素數(shù)問題

　　·有沒有一個公式或一種試驗方法可用來確定一個給定數(shù)是否素數(shù)？

　　·是否有無窮多對孿生素數(shù)？一對孿生素數(shù)是一對相鄰素數(shù)，它們的差是2。例如3和5，因為5－3＝2。還有如5和7，11和13，41和43。

　　·奇完滿數(shù)之謎。如果一個數(shù)等于它的全部真因數(shù)的和，則這數(shù)稱為完滿數(shù)（真因數(shù)即除本身以外的因數(shù)）。6是偶完滿數(shù)的例子，因為6＝1＋2＋3。其他例子有28、496和8128。約公元前300年，歐幾里得證明，如果2n－1是素數(shù)，則2n－1（2n－1）是完滿數(shù)。然后在18世紀(jì)，倫哈德·歐拉證明任何偶完滿數(shù)必然符合歐幾里得的式子。例如8128＝26（27－1）。

　　但是奇完滿數(shù)仍是一個謎。至今為止，沒有人發(fā)現(xiàn)過一個奇完滿數(shù)，也沒有人證明所有完滿數(shù)都是偶數(shù)。

　　哥德巴赫猜想

　　每一個大于2的偶數(shù)都是兩個素數(shù)的和嗎？

　　1742年，德國數(shù)學(xué)家克里斯琴·哥德巴赫（1690～1764）給倫哈德·歐拉（1707～1783）寫了這樣一個猜想：除2以外的每一個偶數(shù)都是兩個素數(shù)的和。例：4＝2＋2，6＝3＋3，8＝3＋5，10＝5＋5，12＝7＋5.雖然哥德巴赫的這一猜想被相信是對的，但是還沒有人作出過證明。至今為止，已獲得了下述成果：1931年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家施尼雷爾曼思路清晰地證明了任何偶數(shù)可被寫成不多于300000）個素數(shù)的和——這與兩個素數(shù)離得太遠(yuǎn)了；伊凡M．維諾格拉多夫（1891～1983）證明所有足夠大的奇整數(shù)都是三個素數(shù)的和；1973年，陳景潤證明每一足夠大的偶數(shù)都是一個素數(shù)與一個或是素數(shù)或是僅有兩個素因數(shù)的數(shù)之和。

　　費馬大定理

　　在17世紀(jì)，皮埃爾·德·費馬（1601～1665）在他的一本書的邊上寫道——

　　把一個立方數(shù)分成兩個立方數(shù)，把一個四次方數(shù)或一般地任何超過二的高次方數(shù)分成兩個同次方數(shù)，都是不可能的，對此我肯定已經(jīng)獲得一個絕妙的證明，但是邊上地位太窄，寫不下。

　　這定理可重述為：如果n是大于2的自然數(shù)的話，不存在任何正整數(shù)x、y、z能使xn＋yn＝zn.費馬的注成了一個挑戰(zhàn)。幾世紀(jì)以來，甚至最卓越的數(shù)學(xué)家都沒能作出證明或反證。

　　下一節(jié)將提供另外的背景，并討論有關(guān)費馬大定理的最新消息。由于力圖證明費馬大定理而得到的某些發(fā)現(xiàn)也許比這定理本身更重要。

　　研究尚未解決的數(shù)學(xué)思想，與探討已知的東西同樣有趣。這里不過是數(shù)學(xué)的未解之謎中的一點小小的樣品。雖然有些問題很簡單，可以講給沒有數(shù)學(xué)背景的人聽，但它們的解卻是難以捉摸的。

　�、僦辉S用直尺和圓規(guī)求解的古代三大不可能作圖解是：三等分一個角（把一個角分成相等的三個角）、倍立方（作一立方體，使它的體積是一給定立方體的兩倍）、化圓為方（作一正方形，使它的面積與一給定圓相等）。由這三個問題刺激發(fā)展起來的幾個發(fā)現(xiàn)是尼科米茲的蚌線、阿基米德的螺線和希庇亞斯的割圓曲線。

　�、诳履崴贡�橋問題的要求是找出一條通過柯尼斯堡七座橋的路線，其中任何一座橋都只許經(jīng)過一次。歐拉在解這問題時發(fā)展了網(wǎng)絡(luò)的概念。

　　③平行公設(shè)涉及的是確定歐拉的第五公設(shè)究竟是不是公設(shè)而非定理。試圖證明這一公設(shè)的各種努力，導(dǎo)致了非歐幾何的發(fā)現(xiàn)。