巴尼在汽水柜臺(tái)工作,他用10只玻璃杯給兩名顧客出了個(gè)難題.巴尼:"這一排有10只玻璃杯,左邊5只內(nèi)有汽水,右邊5只空著,請(qǐng)你使這排杯子變成滿杯與空杯相互交錯(cuò),條件是只允許移動(dòng)4只杯子."兩位顧客看了看巴尼,又看了看杯子,搖了搖頭,不知道怎么辦.巴尼:"好吧,我來(lái)告訴你們,只要分別把第二只杯子和第七只杯子,第四只杯子和第九只杯子交換一下位置就成了."
  這時(shí),奎貝爾教授正好來(lái)到柜臺(tái)前,看到了他們的把戲,并且來(lái)了點(diǎn)小花招.奎貝爾教授:"何需移動(dòng)四只杯子,我只要移動(dòng)兩只就行了,你行不行?"
巴尼納悶地瞧著奎貝爾教授,不明就里.奎貝爾教授:"很簡(jiǎn)單,只要拿起第二只杯子,把里面的汽水倒進(jìn)第七只杯子,再拿起第四只杯子,把里面的汽水倒入第九只杯子就行了."
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  雖然奎貝爾教授抓住話語(yǔ)間的模棱兩可之處解決了這個(gè)問(wèn)題,但這個(gè)問(wèn)題并不像乍看上去那么簡(jiǎn)單.例如,還是這么個(gè)問(wèn)題,但改成100只滿杯挨著100只空杯排成一排,請(qǐng)考慮一下,若要使其變成滿杯和空杯交錯(cuò)排列,需將多少對(duì)杯子互換位置?顯然,一般地,如果有2n只杯子,n只滿杯,n只空杯,需要將[n/2]對(duì)杯子互換位置,方法是2k號(hào)杯子與2k+n號(hào)杯子互換位置即可(k=1,2,3,...)若n=100,則需互換50次.
  有一個(gè)與上面分析的問(wèn)題類似但困難的多的古典難題.咱們這回用兩種不同顏色的杯子作為道具,但是移動(dòng)方法卻大相徑庭:每次只能一塊兒移動(dòng)一對(duì)相鄰的杯子,使結(jié)果成交錯(cuò)排列,以n=3為例,解題過(guò)程如下圖所示:
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  普遍的解是什么呢?當(dāng)n=1時(shí),沒(méi)有意義,n=2時(shí)你會(huì)發(fā)現(xiàn),無(wú)解,當(dāng)n>2時(shí),解此問(wèn)題至少需要移動(dòng)n次.n=4時(shí),求解很不容易,你不妨試試,煞是有趣,或許你能夠把當(dāng)n>=3時(shí)的解題過(guò)程公式化.不像上兩道題比較容易,這個(gè)問(wèn)題我還沒(méi)有仔細(xì)研究過(guò),先把這道題上載,大家也可以發(fā)表意見(jiàn).
  根據(jù)這一難題還可以產(chǎn)生許多奇異的變相問(wèn)題,用來(lái)測(cè)驗(yàn)?zāi)愕闹橇?這里試著舉幾例:
      (1).仍然是同時(shí)移動(dòng)兩只相鄰的杯子,但是如果顏色不同,則要在移動(dòng)過(guò)程中交換位置,這樣一對(duì)黑白的杯子就變成一對(duì)白黑排列了.解8只杯子需要移動(dòng)5次.對(duì)于10只杯子,5次移動(dòng)也夠了.我還尚不知道他的普遍解,也許你能找出來(lái).
      (2).某種顏色的杯子少一個(gè),即某種顏色的杯子有n只,另一種杯子有n+1只,其余規(guī)則不變,已經(jīng)證明(不好意思,不是我證的,我還沒(méi)有仔細(xì)研究過(guò)),對(duì)于任意n只杯子,其解須作n次移動(dòng),而且這是最少的移動(dòng)次數(shù).
      (3).使用三種不同顏色的杯子.按照通常的方法移動(dòng)一對(duì)相鄰的杯子,使得所有這三種顏色交相輝映.當(dāng)n=3(共有9個(gè)杯子),其解需要作5次移動(dòng).在這些變相問(wèn)題中,假設(shè)在最終形成的排列中,不允許留有任何空距.如果允許留有空距,則問(wèn)題的解法就令人驚奇地變?yōu)橐苿?dòng)4次了.
  看來(lái),尚有許多其他的變化形式,例如,假設(shè)一次可以同時(shí)移動(dòng)3只或更多的杯子,在上述各變相問(wèn)題中改用這種移動(dòng)方式,結(jié)果會(huì)如何呢?假如是第一次移動(dòng)1只杯子,第二次移動(dòng)2只杯子,第三次移動(dòng)3只杯子,依次下去,那又會(huì)怎樣?給定某種顏色的杯子n個(gè),另一種顏色的杯子也為n個(gè),這個(gè)問(wèn)題的解是否總是作n次移動(dòng)?這種種問(wèn)題都有待于人們?nèi)ソ鉀Q,我還沒(méi)有時(shí)間來(lái)考慮這些問(wèn)題,這是非常有趣非常值得人們思考的趣題.