數(shù)學(xué)之美在于數(shù)字，而數(shù)字之美在于數(shù)論。有人說(shuō)：數(shù)論就是這樣一種東西，她提醒你數(shù)學(xué)有無(wú)形的靈魂，她賦予她所發(fā)現(xiàn)的真理以生命，她喚起心神，滌盡我們的蒙昧與無(wú)知。縱觀現(xiàn)今北京市小升初考試，數(shù)學(xué)科中數(shù)論的考點(diǎn)可達(dá)試卷的三分之一。可以這樣說(shuō)，決戰(zhàn)小升初賽場(chǎng)，得數(shù)論者得天下。然，相當(dāng)一部分孩子們面對(duì)試題，又常常困惑，不知開(kāi)啟智慧之門的鑰匙該到何處尋求。這里，我們以一道普通的六年級(jí)數(shù)論習(xí)題和大家一道探討下數(shù)論的學(xué)習(xí)方法。

　　例：求證  5個(gè)整數(shù)中肯定能找到3個(gè)數(shù)，使這3個(gè)數(shù)的和是3的倍數(shù)。

　　一、萬(wàn)丈高樓平地起

　　重視基礎(chǔ)知識(shí)是一切學(xué)習(xí)方法的根本。基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，死記硬背不是目的。生硬的記憶只能告訴我們眼前的東西是什么，卻不能告訴我們?yōu)槭裁词鞘裁础Ｈ绱耍�知識(shí)在腦海中僅僅是有關(guān)別人的記憶，而無(wú)法成為自己的智慧。學(xué)習(xí)數(shù)論知識(shí)，一定要有打破沙鍋問(wèn)到底的精神，最好是自己可以動(dòng)手把所有的定理、性質(zhì)都研究一遍，弄清所以，只有這樣，才能把知識(shí)真正的據(jù)為己有，丟不了，忘不掉。

　　基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)還有很重要的一點(diǎn)就是要學(xué)會(huì)把知識(shí)點(diǎn)連成線，把線織成網(wǎng)。數(shù)學(xué)源自生活，而數(shù)論卻起源與數(shù)字。抽象性強(qiáng)是數(shù)論的最大特征。我們?cè)趯W(xué)習(xí)的過(guò)程中應(yīng)當(dāng)將其取之抽象而還之于形，理解記憶于形而運(yùn)籌帷幄于抽象。小學(xué)階段，數(shù)論部分的內(nèi)容大致可以分為如下幾塊：

　　整除問(wèn)題：（1）整除的性質(zhì)；（2）數(shù)的整除特征

　　余數(shù)問(wèn)題：（1）帶余除式的運(yùn)用     被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù).（余數(shù)總比除數(shù)小）

　　（2）同余的性質(zhì)和運(yùn)用

　　奇偶問(wèn)題：（1）奇偶與加減運(yùn)算；（2）奇偶與乘除運(yùn)算

　　質(zhì)數(shù)合數(shù)：（1）質(zhì)因數(shù)的分解

　　約數(shù)倍數(shù)：（1）最大公約最小公倍兩大定理

　　（2）約數(shù)個(gè)數(shù)決定法則

　　完全平方數(shù)：（1）完全平方數(shù)的概念；（2）性質(zhì)

　　知識(shí)點(diǎn)千絲萬(wàn)縷無(wú)非也是源自這六個(gè)板塊。建議大家可以自己動(dòng)手畫個(gè)樹圖，以這六個(gè)部分為主干，相關(guān)知識(shí)做枝葉，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，縱有萬(wàn)縷千絲最后也不過(guò)是結(jié)成了一張網(wǎng)。而這張網(wǎng)就是數(shù)論之形。當(dāng)這張網(wǎng)在你的腦海中揮之不去，你也就定然可以對(duì)知識(shí)點(diǎn)運(yùn)用自如。

　　回到我們的例題，請(qǐng)想想看，想建好這棟樓，要用到哪些知識(shí)呢？

　　二、用數(shù)學(xué)的思維思考，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言說(shuō)話

　　數(shù)學(xué)思維是人腦和數(shù)學(xué)對(duì)象（空間形式、數(shù)量關(guān)系、結(jié)構(gòu)關(guān)系）交互作用并按照一般思維規(guī)律認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)內(nèi)容的內(nèi)在理性活動(dòng)。數(shù)學(xué)思維主要表現(xiàn)在思維活動(dòng)的運(yùn)演方面，有數(shù)學(xué)的特點(diǎn)和操作方式。具體說(shuō)，數(shù)學(xué)思維有三個(gè)特點(diǎn)：概括性，問(wèn)題性，相似性，這里的概括性、問(wèn)題性（包括“為什么，以及問(wèn)題的構(gòu)造和解決方案”），不是通常意義上的概括性和問(wèn)題性，對(duì)數(shù)學(xué)有足夠理解的人才能都體會(huì)；相似性是指思維成果上的相似性、一致性、不矛盾性，不同于其他學(xué)科的思維成果。數(shù)學(xué)思維目的性強(qiáng)，邏輯脈絡(luò)清楚，數(shù)學(xué)語(yǔ)言簡(jiǎn)明通達(dá)，表意層次分明。學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述是學(xué)好數(shù)論的必要條件。

　　通常，我們?cè)谒伎紨?shù)論問(wèn)題的時(shí)候，有這樣兩種思考方法：

　　（1）已知--由已知得到的--由得到的而得到的--結(jié)論

　　（2）結(jié)論--想知道結(jié)論而必須知道的--必須知道的而可以知道的--已知

　　顯而易見(jiàn)，一種方法是由已知出發(fā)得出結(jié)論，而另一種方法是由結(jié)論出發(fā)得出已知。兩種方法，擇優(yōu)而思。以例題為例：

　　5個(gè)整數(shù)中肯定能找到3個(gè)數(shù)，使這3個(gè)數(shù)的和是3的倍數(shù)，重點(diǎn)在3個(gè)數(shù)的和是3的倍數(shù)上。那么，要想知道3個(gè)數(shù)的和是3的倍數(shù)，我們有兩種方法：（1）找到的3個(gè)數(shù)的和的各個(gè)數(shù)位之和可以被3整除；（2）利用余數(shù)。顯然在這道題里我們應(yīng)該選擇（2）。任意一個(gè)數(shù)被3除，余數(shù)可以有：0、1、2三種情況。而當(dāng)五個(gè)數(shù)中有3個(gè)或者3個(gè)以上能被三整除的，拿出這些被整除的數(shù)中任意3個(gè)作和，結(jié)果可以被3整除；當(dāng)五個(gè)數(shù)中有3個(gè)或者3個(gè)以上能被三除余1的，拿出這些被3除余1的數(shù)中任意3個(gè)作和，結(jié)果可以被3整除；當(dāng)五個(gè)數(shù)中有3個(gè)或者3個(gè)以上能被三除余2的，拿出這些被3除余2的數(shù)中任意3個(gè)作和，結(jié)果可以被3整除。如果上述情況都沒(méi)有，即5個(gè)數(shù)中被3整除的數(shù)少于3個(gè)，被3除余1的數(shù)也少于3個(gè)，被3除余2的數(shù)也少于三個(gè)，那么，上述條件下，5個(gè)數(shù)中被3除余數(shù)為0、1、2的三種情況必然同時(shí)存在，此時(shí)取被3除余數(shù)分別為0、1、2的三個(gè)數(shù)相加，結(jié)果也必然能被3整除。有了這樣的思考，我們?yōu)楸绢}做答如下：

　　證明： 根據(jù)整數(shù)除以3所得的余數(shù)把整數(shù)分為3類。5個(gè)整數(shù)有以下兩種情況：①如果5個(gè)數(shù)中每個(gè)類的數(shù)都有，則每類各取一個(gè)，3個(gè)數(shù)的和是3的倍數(shù)；②如果5個(gè)數(shù)都不屬于某個(gè)類，則至少有3個(gè)同屬于另外的類，則取這3個(gè)數(shù)，這3個(gè)數(shù)的和是3的倍數(shù)。所以，5個(gè)整數(shù)中肯定能找到3個(gè)數(shù)，使這3個(gè)數(shù)的和是3的倍數(shù)。

　　三、數(shù)學(xué)是自由的

　　數(shù)學(xué)是自由的，所以她準(zhǔn)許我們大膽的玩弄，想像與猜測(cè)。

　　要想學(xué)好數(shù)論，就要學(xué)會(huì)順藤摸瓜，順著題目的騰大膽的四面八方的自由的爬。依然以例題為例：當(dāng)我們知道5個(gè)整數(shù)中肯定能找到3個(gè)數(shù)，使這3個(gè)數(shù)的和是3的倍數(shù)，腦海中就有了如下的簡(jiǎn)圖：5→3→3，樣子有些象等式，那么如果在每一項(xiàng)上都加上3得到的是8→6→3還是8→6→6呢？于是，有了這樣的命題：（1）8個(gè)整數(shù)中肯定能找到6個(gè)數(shù)，使這6個(gè)數(shù)的和是3的倍數(shù)；（2）8個(gè)整數(shù)中肯定能找到6個(gè)數(shù)，使這6個(gè)數(shù)的和是6的倍數(shù)。用與例題類似的方法，可以證明命題（1）是正確的。與命題（1）類似，也可以有這樣一個(gè)命題（3），11個(gè)整數(shù)中肯定能找到9個(gè)數(shù)，使這9個(gè)數(shù)的和是3的倍數(shù)。

　　例題如果僅僅只能得到這些，似乎顯的太狹隘一些。再看5→3→3，很容易想到這樣一個(gè)命題（4）：3個(gè)整數(shù)中肯定能找到2個(gè)數(shù)，它們的和是2的倍數(shù)。3個(gè)數(shù)除以2的余數(shù)至少有兩個(gè)是相同的，這兩個(gè)數(shù)之和當(dāng)然是2的倍數(shù)。現(xiàn)在把5→3→3和3→2→2放在一起，又可以想到命題（5）：7個(gè)整數(shù)中肯定能找到4個(gè)數(shù)，它們的和是4的倍數(shù)。這個(gè)命題的正確性也很好證明：

　　證明：由命題（4），其中肯定存在兩個(gè)數(shù)a+b=2A；對(duì)于剩下的5個(gè)數(shù)應(yīng)用命題（4），其中肯定存在兩個(gè)數(shù)c+d=2B；然后對(duì)剩的3個(gè)數(shù)再次應(yīng)用命題（4），其中肯定存在兩個(gè)數(shù)e+f=2C。最后，對(duì)A、B、C應(yīng)用命題（4），得到其中肯定存在兩個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)的情況，不妨設(shè)A+B是偶數(shù)，則相應(yīng)的a+b+c+d=2(A+B)，必是4的倍數(shù)。由此，命題得證。

　　至此，我們做個(gè)大膽的猜想，2n-1個(gè)整數(shù)中肯定能找到n個(gè)數(shù)，這n個(gè)數(shù)的和是n的倍數(shù)。 證明的方法也不是很難，你能做出來(lái)嗎？

　　自由的數(shù)學(xué)只有放任思想自由才可以得到精髓。要學(xué)好數(shù)論關(guān)鍵在于你要保持頭腦的清醒，敢于想像，猜測(cè)，積極論證你的想法和結(jié)論。

　　有人說(shuō)學(xué)習(xí)有三個(gè)境界：

　　（一）是昨夜西風(fēng)凋碧樹，獨(dú)上高樓望盡天涯路

　　（二）是衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴

　　（三）是眾里尋她千百度，募然回首，那人卻在燈火闌珊處

　　數(shù)論的學(xué)習(xí)過(guò)程中一樣也要經(jīng)過(guò)這三個(gè)階段。掌握一定的技巧方法，經(jīng)過(guò)一定量習(xí)題的粹煉，勤于思考，善于思考，相信這樣的你一定能夠達(dá)到自己所期望的目標(biāo)。數(shù)論是有魔力的，若是“眾里尋她千百度，募然回首，那人卻在燈火闌珊處”，我更相信，你會(huì)義無(wú)返顧的愛(ài)上這“數(shù)學(xué)之后”！

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