猜測電話號碼

　　鮑伯領悟到通過對或錯提問來判斷一系列號碼中某一特殊成員的最高效率的方法如下：假如這一系列號碼中包含一個偶數成員，我們將它分成平等的兩部分，每一部分包含相等數量的數字元素。假如這一系列的號碼中包含一個奇數成員，我們仍將之分成兩部分，兩部分在數字元素的數量上盡可能接近。然后我們問這些“兩部分”中哪一部分含有我們要找的成員，得到答復后，我們對指定的部分再重復同樣的過程；最后，原始系列中只剩下了一個號碼，它就是我們要找的那個。

　　第一個提問顯然是對于識別一個二元系列成員而言。第二個提問是對一個四元系列，第三個提問是對一個八元系列，第四次提問是對于一個十六元系列而言。推廣到一般，第n次提問是對一個2n元系列而言。

　　在猜測電話號碼這個問題上，24次提問對猜測任意一個不大于224=16 777 216的數字都是足夠的，因為224比9 999 999大，而9 999 999是當七位電話號碼單獨以數字形式出現數值最大的。然而因為223=8 388 608比一些可能的七位電話號碼小，所以23次提問有時是不充分的。

　　因此鮑伯的第一個提問是：“這個號碼比5 000 000大嗎？答案馬上把7位號碼中可能的號碼砍掉了一半。按這種方式繼續下去，他相信在經過24次或少于24次的提問中，一定能找出正確的電話號碼。

　　因為很多人沒有領悟到數字成倍連續增長是多么快，所以他們很難相信在不多于24次這么少的提問中可以確定從1到甚至比16 000 000還大的數字中的任何一個數字。也正是由于這種增長的神速才使我們能夠解釋為什么通過“對和錯”這種提問來猜測某人正在思考什么是這樣的容易，而且此人的思考范圍可允許在任何存在的物體范圍內。如果你對二進制分割很熟練(比如：問一些類似這樣的問題：“這是生物還是非生物？”“這是動物還是植物？”等等)，你很可能在20次或不到20次提問中猜出比如某人正在思考自由女神頭上的皇冠等一類事情。

　　我們描述的通過24次提問猜測電話號碼的過程被計算機專家們稱為“二進制分割”算法。一個聰明的通過顯示在圖3―1的六張卡片來速算的竅門就是以“二進制分類”為基礎的。方法如下：把這些卡片遞給一個人并讓他想定從1到63的任何一個數，然后讓他給你上面有他所選數字的每一張卡片，你立刻就能識別出這個數。

　　圖3-1

　　其實秘密很簡單，就是把那人給你的每一張卡片上的第一個數都加起來，所得的和就是要找的那個數。

　　這些卡片是按一個系統設計的。這個系統很容易通過后面圖3―2附的把1到63按“二進制計數法”排列來解釋。圖表左側的數字是十進制形式，每一個的右側有它在二進制中相應的表示。

　　圖3-2

　　圖表表頭的6個數字是用來形成二進制數字的2的乘方。以“1”開頭的那張“速算卡片”上面的數字依次是圖中最右一列中數值為1的行中所對應的十進制列中的所有數字。以“2”開頭的卡片上的數字包含從右數第二列是1的行中所對應的十進制列中的所有數字。其它四張卡片也同樣是通過上述過程得到。

　　通過這些“速算卡片”很容易歸納出以大于2的數字的乘方為基礎的另一種計數法。圖3―3說明了如何設計一系列以三進制為基礎的卡片的方法。在此情形下，每個三進制數字中可能包含0、1或2三個數。當一個“1”在一列中出現時，我們把相應的十進制數字在相應的列的卡片上記一次；當一個“2”出現時，我們把相應的十進制數字在相應列的卡片上記兩次。

　　圖3-3

　　圖3―4列出了3個速算卡片，用以判別從1到26中任一個被選的數，只是你無論如何要讓別人告訴你當你遞給他每一張卡片時，他看到他選擇的數字在此卡片上出現一次或兩次。如果他(她)看到了兩次，那么在做加法時，你一定要把這張卡片的頭一個數字乘以2。

　　圖3-4

　　你也可能希望把這個體系延展到6張卡片。正如我們所知道的，6張二進制的卡片的識別數的范圍是1到63，那么6張三進制的卡片的識別數的范圍是多少呢？答案是1到728。這樣，如何歸納高于三進制數字系統的方法就很容易理解了。比如，以4的乘方為基礎的一系列長片，在一張卡片上一些數字可能重復兩次，另一些也可能重復三次。如果重復三次，在你做加法前，你必須把卡片的頭一個數字乘3。

　　三進制卡片闡明了這樣一個事實：在一些方面，三進制分類比二進制效率高得多。如果我們總是把一系列數分成三部分而不是兩部分，并且知道哪一部分含有要找的元素，那么經過很少幾次提問就能猜出這個元素。然而，提問方式也不再是“對或錯”型的了。

　　三進制分類的妙用被下面的撲克牌游戲說明得淋漓盡致。它使用任何33=27張撲克牌。某人透過撲克盒看并記下一張牌，魔術師拿出這盒牌并把它們面朝上分發成三堆，然后，這個人指出他記的牌在哪一堆里面。

　　魔術師把另兩堆牌先收在一個盒內，然后再把觀眾指出的那堆牌分發成面朝上的三堆。這個人再指出包含他(她)記的牌的那一堆。重復第三次時，當魔術師知道被選擇的那張牌在哪一堆后，他收起了這些堆牌并把撲克盒面朝下，放在了桌子上。當這位觀眾說出他(她)選的那張牌時，魔術師翻開了撲克盒內最上面的一張牌，它恰好是觀眾所選的那張。這個游戲你可以不斷重復，永遠不會出錯。

　　謎底很簡單。魔術師每次收這三堆牌時都留意把包含被選擇牌的那一堆放在面朝下的撲克盒的最上部，這自然就把被選擇的牌推到了最上部。這是怎么回事并不難理解。其原理除了每次把撲克牌分成三堆與猜電話號碼時把數字分成兩部分不一樣外，其它與猜電話號碼一樣。第一次裝起牌后，被選的牌一定在最上面的九張牌內；第二次裝起牌后，這張牌一定在最上面的三張牌間；第三次后，它一定是最上面的一張了。如果你把被選擇的卡片面朝上來瀏覽這一過程，你能看到它向上運動的全過程：經過三個階段到達最上面。用上面同樣的過程，通過計算機對元素分類在現代化的信息重組理論上起了很大作用。