出發(fā)點(diǎn)

　　迪克之所以贏不了，是因?yàn)樗�始終沒搞清楚應(yīng)該循著什么樣的思路去尋找出發(fā)點(diǎn)。飛行員可以從靠近南極的某一點(diǎn)出發(fā)，要求這一點(diǎn)滿足如下條件：向南飛100公里后，再向東飛100公里，恰好繞著南極轉(zhuǎn)兩圈而不像剛才那樣繞南極轉(zhuǎn)一圈，那么這時(shí)再向北飛，自然可以回到出發(fā)點(diǎn)。滿足這一條件的出發(fā)點(diǎn)又形成了一個(gè)新的以南極為中心的圓。同理，飛行員還可以從更小的圓上的點(diǎn)出發(fā)，只要能滿足飛機(jī)在向東飛時(shí)繞南極轉(zhuǎn)三圈、轉(zhuǎn)四圈……轉(zhuǎn)任何正整數(shù)的圈數(shù)都可以。可見，滿足條件的點(diǎn)構(gòu)成了一個(gè)無窮系列的同心圓，以南極為圓心，半徑無限趨近于100公里。

　　下面是另一種關(guān)于航行的問題，它涉及到的是一種美妙的球面曲線，即所謂的“等斜曲線”或稱“等方位線”。假設(shè)一架飛機(jī)從赤道上某點(diǎn)出發(fā)，向東北方向飛行，那么它的最終落點(diǎn)在哪里？它經(jīng)過的路線有多長？這個(gè)路線呈什么形狀？

　　你會(huì)驚奇地發(fā)現(xiàn)，飛機(jī)經(jīng)過的路線是一個(gè)以不變的角度與地球子午線相交的螺旋形曲線，它最終的落點(diǎn)在北極。該曲線是一個(gè)球面螺旋線，它須繞北極旋轉(zhuǎn)，越轉(zhuǎn)半經(jīng)越小，最后終止于北極。把飛機(jī)作為一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，甚至可以認(rèn)為這個(gè)點(diǎn)繞北極轉(zhuǎn)了無數(shù)圈，那么它所經(jīng)過的路線的長度也還是有限的、可計(jì)算的。所以，飛機(jī)若以不變的速度飛行，它終究要在一定的時(shí)間內(nèi)到達(dá)北極。

　　對(duì)于不同類型的地圖，等斜曲線在圖上的表現(xiàn)形式不盡相同。在眾所周知的麥卡托式世界地圖上，它表現(xiàn)為直線，事實(shí)上也正因?yàn)槿绱耍�麥卡托式地圖才備受航海家們青睞。如果一條船或一架飛機(jī)在行進(jìn)時(shí)保證羅盤的指針不變，那么它的行進(jìn)路線表現(xiàn)在地圖上就是一條直線。

　　如果一架飛機(jī)從北極出發(fā)向西南方向飛行，結(jié)果將會(huì)怎樣？這個(gè)問題與上面的問題可謂互遞互補(bǔ)，因?yàn)樗鼈冃羞M(jìn)路線的形狀完全一樣，只是方向相反。但有一點(diǎn)，我們不能肯定這條曲線交于赤道上哪一點(diǎn)，或者說，它與赤道上任何一點(diǎn)都有可能相交。這一結(jié)論可以得到證明，因?yàn)閺某嗟郎系娜魏我稽c(diǎn)出發(fā)反方向飛行都可以回到北極。當(dāng)然，飛機(jī)從北極出發(fā)，經(jīng)過赤道之后如果繼續(xù)前進(jìn)，那么它最終必然要落在南極。

　　如果我們把等斜曲線投影到與赤道平行與北極(或南極)相切的平面上，那么這時(shí)的投影線就是等角螺旋線，又稱為對(duì)數(shù)螺旋線。這種螺旋線與半徑的交角始終保持不變。

　　另一個(gè)為人們所熟知的行進(jìn)路線問題是四個(gè)烏龜?shù)膯栴}。它也涉及到對(duì)數(shù)螺旋線，但是其中有一個(gè)形象的故事來介紹這一技巧。

　　湯姆?皮莎訓(xùn)練了四個(gè)小海龜：阿娜、玻瑟、查爾斯、蒂里拉，把它們依次編號(hào)為A、B、C、D。一天，他把四個(gè)小海龜放在一間屋子的四個(gè)角落里，讓A始終朝著B所在的位置前進(jìn)，讓B始終朝著C所在的位置前進(jìn)，同理，C朝著D、D朝著A的方向走。他請(qǐng)全家人來觀看。

　　“非常有趣，我的兒子！”皮莎先生高興地說，“每個(gè)海龜都以同樣的速度徑直向它前面的海龜爬去，那么，每一時(shí)刻它們四個(gè)都處在某個(gè)正方形的角上。”(如圖2-9所示)

　　圖2-9

　　“是的，爸爸。”湯姆說，“而且這個(gè)正方形處在不斷的變化中，越來越小。看！它們即將相聚在正中心！”

　　假設(shè)每個(gè)海龜以每秒鐘1厘米的速度前進(jìn)，方形屋子每邊長3米，那么請(qǐng)問每個(gè)海龜爬到中心用多長時(shí)間？當(dāng)然，我們?cè)诮鉀Q問題時(shí)可以把一個(gè)海龜作為一個(gè)點(diǎn)來外理。

　　皮莎先生掏出了計(jì)算器，打算施展一下他計(jì)算的才能。這時(shí)皮莎太太嚷了起來：“不要計(jì)算了，親愛的，問題很簡(jiǎn)單，需要5分鐘！”

　　皮莎太太怎么解答出來的呢？

　　我們簡(jiǎn)單地考察兩個(gè)相鄰的海龜，比如A和B。A始終不相關(guān)。這與B在墻角不動(dòng)、A沿著墻邊直接爬向B是一個(gè)效果。

　　上述思路是解決問題的關(guān)鍵。A經(jīng)過的路線與每個(gè)墻邊的長度是一樣的。既然墻邊長300厘米，A的行進(jìn)速度是每秒1厘米，那么當(dāng)然需要300秒鐘，也就是5分鐘到達(dá)B處。對(duì)其它三個(gè)海龜也是如此，所以5分鐘之后，四個(gè)海龜同時(shí)到達(dá)正方形的中心。

　　借助于計(jì)算器，我們不難畫出每隔一小段時(shí)間海龜所在的位置，把每一時(shí)間間隔中四個(gè)海龜?shù)奈恢靡来芜B成線，結(jié)果便形成了如圖2-10的圖形。

　　圖2-10

　　對(duì)于所有正多邊形的角上的點(diǎn)，都存在類似的規(guī)律嗎？請(qǐng)先研究一下正三角形，再研究一下正五邊形，如果已知正多邊形的邊長，要求出一只海龜追上前面一只海龜需走過的路程長度，你能找到一個(gè)通用的公式嗎？如果是無窮多的海龜，從正無窮多邊形的角上同時(shí)出發(fā)，首尾相接依次追擊，結(jié)果將會(huì)如何？它們是否永遠(yuǎn)也聚不到一起？再假設(shè)，最初的多邊形不是規(guī)則的正多邊形，比如四個(gè)海龜從一個(gè)矩形的四個(gè)頂點(diǎn)上同時(shí)出發(fā)，結(jié)果又會(huì)如何？

　　回到我們最初的例子中。如果四只小海龜在屋子中央相聚后，發(fā)現(xiàn)它們彼此都很厭惡，便彼此背向爬開，每只海龜都徑直遠(yuǎn)離它左邊的小海龜，那么請(qǐng)問：四只海龜是否會(huì)重新回到屋子的四個(gè)角落？