對角線與半徑

　　匆明女士突然看出來，水池的一邊是一個矩形的對角線，而該矩形的另一條對角線恰是這個圓形區域的半徑。一個矩形的對角線應是相等的，半徑是5+4=9米，因此水池的每邊長是9米，根本不必用勾股定理。

　　請注意這個解題技巧的意義。你也可以用其它常規的解答方法試試看，如果你只用勾股定理和三角形的有關知識去求解，那么解題過程恐怕是冗長繁瑣的。平面幾何中有一個定理：同一圓內兩弦相交，那么一條弦被交點分成的兩部分之積等于另一條弦兩部分之積。如果你記住了這個定理，那么解題過程還可能簡化一些。根據這個定理可以得出右邊三角形的高度是56的平方根。再應用勾股定理可以算出右邊三角形的斜邊是9米。

　　還有一個與此相類似的問題，便是詩人亨利?龍菲洛(Henry Longfellow)在他的小說《卡文那》(Kavenaugh)中提到的關于睡蓮的問題(見圖2-4)。當睡蓮的莖向上直立時，花高出湖面10厘米；如果你把睡蓮拉向一邊，始終保持莖是直的，花在距莖向上直立時與水面的接觸點21厘米遠處接觸水面，請問水有多深？

　　圖2-4

　　解決這個問題首先要畫一張示意圖，如上圖所示。這里畫圖就像解決游泳池的邊長問題需要畫圖一樣十分必要，我們的目標是確定x的長度，解決這個問題的方法同樣不止一個，但如果你記住了相交弦定理，那么這個問題便迎刃而解了。

　　這里還有一個關于游泳池的有趣的問題，如知道技巧便可很快解決。一只海豚在一個圓形游泳池的西岸邊A點，沿直線向前游12米，到達岸邊B點；調轉一個方向再游5米，到達岸邊C點，而C點剛好和海豚出發處A點相對。請問海豚從A點直接游到C點需游多少米?

　　解決問題的技巧是，有一個定理：半圓所對的圓周角是直角。因此三角形ABC是直角三角形。這里已知兩條直角邊是5和12，那么斜邊自然是13米。

　　以上幾個問題都說明這樣一個道理：解決某些幾何問題，有時應用歐幾里德幾何學的一些最基礎的知識，就可以使問題變得相當簡單。