幾何學是研究形狀的學問。這種定義令人聽起來總有一種空泛沒有實質內容的感覺，盡管這個定義是比較科學的。從某種意義上講，幾何學家是審美的法官，因為他們時常對女性的曲線是否優美評頭品足，但這種對女性曲線的評價遠不是幾何學這一名詞的含義。人們常說兩點之間曲線最美，盡管這里談到了曲線，而曲線確是幾何學中的一個基本術語，然而，這樣的論斷與其說屬于數學的內容，毋寧說屬于美學的范疇更恰當。

　　我們可以從對稱性著眼，對幾何學進行更準確的定義。所謂對稱性，就是說一個圖形經過某種變換之后形成的圖形與原圖形一樣。例如，字母“H”具有180度旋轉對稱性。就是說如果我們把這個字母旋轉180度――頭向下，底朝上――我們得到的圖形還是字母“H”。單詞“AHA”具有反射對稱性。把它放在一個鏡子前面，鏡子反射出的單詞依然是“AHA”。

　　一種圖形做某種指定的對稱變換之后，它的各種性質并不改變，幾何學的每一分支都可以定義成對這種性質的研究。例如，歐幾里德平面幾何學所涉及的是，當一個圖形在平面上移動、旋轉、鏡前反射或者成比例地放大或縮小時，對它的不變性質進行研究；仿射幾何學研究的是當一個圖形以一定的方式“擴展”之后所表現出的不變性質；投影幾何學研究的是在投影狀態下的不變性質；拓撲學研究問題的著眼點則是，把圖形的形狀看作是柔軟可變的，在形狀變化的過程中，問題的某些特性并不因之而變化，亦即通過維持性質不變而僅僅改變形狀來解決問題。

　　本書的每一章節中都可能或多或少地涉及到一些幾何問題，但本章則以解決幾何問題為主旨。當然，我們在這里選擇的幾何問題都是些貌似復雜但利用一點奇妙的技巧便可輕而易舉解決的問題。本章的第一個問題是個切乳酪的問題，在這個問題中我們不難發現，一個非常簡單的問題也涉及到了數學的好多個分支。它涉及到了平面幾何、立體幾何、組合、代數。如果把這個問題再引申一步，還要涉及到數學中的另一個重要理論――有限差分理論。

　　“曲線通幽”是一個拓撲學的問題。通過把折線變換成細繩的奇妙想法來解決問題，表明了一種形式上的拓撲變換――一個棘手的問題變成了一個簡單的封閉曲線上依次排列著若干個點的淺顯明了的問題。線路的變換包含著拓撲的性質。解決這一問題可以把折線變換成一個圓，把它變換成一個正方形或一個三角形亦無不可。

　　接下來的兩個問題――“神奇的劍”和“奇妙的路線”――使我們離開了平面進入了三維空間歐幾里德幾何學的王國。由飛行路線引出了一個著名的曲線問題即四只小海龜的行進路線問題，從這個問題中我們不難發現有時利用一個簡單的技巧可以省去多少繁雜艱苦的計算。蘭莎的測量問題又使我們回到了平面上，使我們認識了歐幾里德幾何領域中的分割理論與可縮理論。可縮理論屬于平面組合幾何學，歐幾里德小姐的切割問題則屬于立體組合幾何學。

　　地毯問題，以及由此引出的有孔洞的球的問題都表明了這樣一個基本道理：一個量看起來似乎是個變量，可在其它參數發生變化時，這個量卻始終保持不變。不管球上的洞有多寬，也不管球的半徑有多大，在球上挖個洞之后，剩余部分的體積總是不變的，這樣的結論難道不令人瞠目？當數學家首次認識到這一事實的時候，他也應該為之驚訝，不過想來他會接著補上一句“太漂亮了！”

　　恐怕很少有人能確切地理解數學家稱某事“漂亮”的真正含義――或許有較濃的發現問題意外簡單的意味，不過所有的數學家在認識了一個“漂亮”的原理或者對一個原理的“漂亮”的證明之后，都會像我們認識了一位美人一樣感到高興。幾何學因其具有直觀性形象化的特點，每每出現一些漂亮的原理或漂亮的證明，在本章中你就可以看到一些精彩的例子。