奇偶檢驗

　　布朗先生的女兒應用所謂“奇偶檢驗”解決了鋪磚問題。如果兩個數字都是奇數或都是偶數，它們被稱為同奇偶；如果一個是奇數而另一個是偶數，則稱為相對奇偶。在組合幾何中也要經常遇到相同的情況。

　　在本問題中，兩塊同顏色是同奇偶，兩塊不同顏色是相對奇偶。顯然一塊矩形磚只覆蓋一對相對奇偶方磚。這個姑娘讓我們看到，當19塊矩形磚鋪上后，剩余的兩塊只有是相對奇偶才能被矩形磚覆蓋；由于剩下的兩塊必然是同奇偶，它們不能被矩形磚覆蓋，所以院子鋪矩形磚是不可能的。

　　數學中許多不可能性證明也依賴奇偶檢驗。你熟悉的著名歐幾里德證明：2的平方根不可能是有理數。這個證明的獲得首先假設根可以用最簡有理分式來表示，分子和分母不可能都是偶數，否則分式就不是最簡式。所以，它們只能是奇數，或一個是奇數、另一個是偶數。歐幾里德的證明顯示，這個分式二者都不是，既不都是奇數，又不相對奇偶。而每一個有理分式都應是二者之一，所以2的平方根不是有理數。

　　假如不是應用奇偶檢驗，很難證明鋪磚的不可能性問題。這個問題尤其簡單是因為它包括在多米諾(domino)骨牌中最簡單的一種polyomino(把一系列單位塊拼在一起)，這個姑娘的不可能性證明可以適用于任何由單位塊構成的矩陣中，當矩陣被棋盤似地涂色后，一種顏色的單位塊比另一種顏色的至少多一塊。

　　在我們的問題中，院子可以看做6×7的矩陣，缺了2個同顏色的塊。顯然，剩下的40塊不能由20塊“多米諾骨牌”覆蓋。一個有趣的相關問題是：如果移去的2塊是不同顏色的，20塊“多米諾骨牌”就可以覆蓋了嗎？奇偶檢驗不能證明其不可能性，但這并不意味著可能性永遠存在著。無疑要移動一對對的不同顏色的塊來檢查每一種可能的模式，這要分析過多的可能情況。有沒有簡單的可能性證明呢？

　　有。它簡潔、奇巧，是由Ralph ? Gomory的靈感解決的。假設6×7長方形中有一個封閉路徑，一小格寬，見圖5。現在將路徑中任意兩個不同顏色的小塊移走，這將路徑分為兩部分，每部分都包括偶數個顏色相同的小格，很明顯這部分能被“多米諾骨牌”覆蓋，所以這個問題總是有解的。你或許很想應用一下這個巧妙的證明于任意大小、形狀的矩陣且缺兩個以上的小塊。

　　“鋪磚”理論是一種有趣的大面積的組合幾何，鋪設的區域可以是任意形狀的――有限的或無限的，磚的形狀同樣也可以變化。問題中磚的形狀也可以不是同一形狀的，不可能性證明中經常用兩種以上顏色標記特定區域。

　　三維多米諾骨牌是1×2×4的塊，用這種塊很容易裝一個4×4×4的盒子，但用這種塊能裝6×6×6的盒子嗎？這個問題也用布朗先生庭院問題方式來解答。假如把這個立方體分為27個小立方體，每個是2×2×2，黑白相間的標識這些2度立方體，你會發現，一種顏色比另一顏色多8個立方。不論一個塊用這種顏色的小塊怎樣堆積，它總是占據同樣數量的黑塊和白塊，但由于一種顏色的塊比另一種顏色的多8立方，不論前26塊怎樣放，總要剩8立方同顏色塊，所以它們不能被第27塊覆蓋，若要通過詳盡檢查每種可能的拼裝方式來證明其不可能性將會是超乎尋常的困難。

　　塊拼裝理論僅僅是三維空間堆積理論的一部分。在空間拼裝課題上，盡管有許多懸而未解的問題，但已有大量的論文產生。許多問題已應用到商品的包裝及倉庫商品的貯存等等方面。

　　奇偶性在核物理方面起著重要作用。1957年兩名華裔美國物理學家獲得諾貝爾獎就是由于他們的工作推翻了著名的“奇偶守恒”定律。由于其太高的科技水平而不在此引入。但這里有一個簡單的硬幣小戲法，可以說明奇偶的守恒。

　　在桌上扔一把硬幣，然后數一下呈現正面的硬幣數。若是偶數，我們說正面具有偶數性；若是奇數，我們說正面具有奇數性。然后翻轉一對硬幣，再一對，再一對，隨意選擇。你可以發現，不管翻轉多少對，正面的奇偶性是守恒的。如果開始是奇數，結束時還是奇數；如果開始時是偶數，結束時仍是偶數。

　　這就是這個聰明的小魔術的基礎。你轉過身去，讓一個人隨意一對對翻轉硬幣，再讓他用手蓋上任何一個硬幣，你轉過來，看一下這些硬幣，就能準確地告訴他手下的硬幣是正面還是反面。秘密就是最初數一下正面的數量并記下來。不管正面數是偶數還是奇數，因為成對翻轉不影響其奇偶性，你只要在最后查一下正面數就能知道掩藏的硬幣是正面還是反面。

　　作為一種推廣，還可以讓某人用手蓋上兩個硬幣，你可以說出被掩蓋的硬幣是同面還是互為反面。許多明面的紙牌戲法都可由這種奇偶檢驗變化得來。