多少條路？

　　剩下的五個(gè)頂點(diǎn)，從上至下，從左到右應(yīng)標(biāo)上1，4，9，4和13，最后一個(gè)頂點(diǎn)的13表示蘇珊按最短路徑有13條路去上學(xué)。

　　蘇珊的發(fā)現(xiàn)的確是計(jì)算學(xué)上最短徑數(shù)的簡(jiǎn)單快捷的算法。如果她試圖畫(huà)出所有路徑，再數(shù)它們那就太繁雜了，而且當(dāng)街道網(wǎng)絡(luò)量大時(shí)也是根本辦不到的。當(dāng)你實(shí)際畫(huà)一下13條路徑時(shí)，你會(huì)更好地體驗(yàn)算法的有效性。

　　圖1

　　為了檢驗(yàn)?zāi)銓?duì)這種算法的理解程度，試著畫(huà)一下其它幾種街道網(wǎng)絡(luò)，并應(yīng)用這種算法確定從頂點(diǎn)A到頂點(diǎn)B的最短路徑的數(shù)量。圖1給了這種類(lèi)型的四個(gè)同題，它們也可用其它方法求解，如使用組合數(shù)學(xué)的公式，但這種方法太復(fù)雜了。

　　圖2

　　國(guó)際象棋中的車(chē)從棋盤(pán)的一角到達(dá)對(duì)角線另一角的最短路徑數(shù)是多少呢？根據(jù)蘇珊為街道標(biāo)號(hào)的方法，通過(guò)為每個(gè)棋格標(biāo)號(hào)很快就可解決。因?yàn)檐?chē)只能沿直角(水平和垂直)移動(dòng)，所以最短路徑只能限制在向目標(biāo)方向的移動(dòng)上，如圖2所示，整個(gè)棋盤(pán)已正確標(biāo)記，標(biāo)號(hào)馬上就給出了從起始區(qū)域到盤(pán)上任何其它區(qū)域的最短路徑數(shù)。右上

　　角格中的數(shù)字是3432，所以車(chē)從一角沿對(duì)角線到另一角的最短路徑數(shù)是3432條。

　　圖3

　　把棋盤(pán)沿對(duì)角線切成一半，然后轉(zhuǎn)動(dòng)成為圖3所示的三角形。底排格中的數(shù)字就是從頂點(diǎn)到底排各格的最短路徑數(shù)。這個(gè)三角形的標(biāo)號(hào)和著名的帕斯卡三角形①中的數(shù)字是相等的。

　　這種從頂?shù)降鬃疃搪窂降乃惴ǎ瑴?zhǔn)確地構(gòu)成了帕斯卡三角形，這種同構(gòu)的精確推

　　廣，就是帕斯卡三角形的迷人之處。由帕斯卡三角形馬上就可得到二項(xiàng)式展開(kāi)式各項(xiàng)的系數(shù)和一些基本概率問(wèn)題的解答。注意圖3中從三角形頂端到底部外邊格中數(shù)字都是1，越往中心移數(shù)字越大，或許你見(jiàn)到過(guò)這種按帕斯卡三角形原理構(gòu)造的裝置，一塊傾斜的板，幾百個(gè)小球沿著桶滾入板底各欄、球準(zhǔn)確地按漏斗型二項(xiàng)式函數(shù)曲線排列，這是因?yàn)檫M(jìn)入每個(gè)口的最短路徑致都是二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)。

　　蘇珊算法同樣適用于具有長(zhǎng)體小格的立方體。想一想，邊長(zhǎng)3個(gè)單位的立方體被分為27個(gè)小立方體，有一個(gè)車(chē)在一個(gè)小格中，車(chē)可以沿三個(gè)座標(biāo)方向平等移動(dòng)，它沿著空間對(duì)角線到達(dá)另一端的最短路徑數(shù)是多少呢？

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　　①中國(guó)人稱(chēng)之為楊輝三角，系中國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝發(fā)現(xiàn)。