引言

    在數(shù)學的學習中，有時候會碰到求兩數(shù)的平方差的題目，在六年級的奧數(shù)學習中，通過面積和體積的計算公式，發(fā)現(xiàn)了相鄰兩數(shù)二次方和三次方的計算規(guī)律，后來我把它推演到不相鄰兩個數(shù)的N次方，發(fā)現(xiàn)同樣有效。就如同二次方差用于計算面積差，三次方的差用于計算體積差一樣，也許N次方的差在將來用于計算N維度的差。

　　推導(dǎo)過程：

　　一、 由二次方看

　　首先，我們知道兩個數(shù)的二次方的計算方法

　　已知一個數(shù)A的平方，求這個數(shù)相鄰數(shù)的平方。

　　解答：如圖，一個數(shù)A的平方如圖中有色部分，即A^2；這個數(shù)的相鄰數(shù)的平方可以看圖中的白色方框包含的部分和綠色邊框包含的部分，他們分別是：

　　5^2-4^2=5^(2-1)+4^(2-1)=5+4=9

　　幾何上可以理解為：圖中白色框的一邊5與另一邊4相加

　　4^2-3^2=4^(2-1)+3^(2-1)=4+3=7

　　幾何上可以理解為：圖中綠色框的一邊3與另一邊4的相加

　　所以對于相鄰兩數(shù)的二次方的差計算的一般公式如下：

　　(A+1)^2-A^2=(A+1)^(2-1)*A^(2-2)+(A+1)^(2-2)*A^(2-1)

　　對于最外邊白色框與里邊綠色框的平方差，可通過圖形看到

　　(A+1)^2-（A-1)^2=(A+1)^(2-1)* (A-1)^(2-2)*2+(A+1)^(2-2)*(A-1)^(2-1)*2

　　=[(A+1)^(2-1)* (A-1)^(2-2)+(A+1)^(2-2)*(A-1)^(2-1)]*2

　　幾何上理解為：

　　長方向的A+1與[(A+1)-(A-1)]=2的面積、寬方向上A-1與[(A+1)-(A-1)]=2的面積，兩塊面積的和。

　　同理，推廣到兩個不相鄰數(shù)P與Q的平方差，可表示為：

　　P^2-Q^2=[P^(2-1)*Q^(2-2)+P^(2-2)*Q^(2-1)]*(P-Q)

　　二、再看三次方的情況

　　我們看相鄰兩個數(shù)的三次方的差的計算方法：

　　已知一個數(shù)A的三次方，求這個數(shù)相鄰數(shù)的三次方。

　　設(shè)A的相鄰數(shù)為A+1和A-1，則他們的三次方可以用一個三維立體圖形形象地表示，如右圖：

　　(A+1)^3-A^3=(A+1)^(3-1)*A^(3-3)+(A+1)^(3-2)*A^(3-2)+(A+1)^(3-3)*A^(3-1)

　　A^3-(A-1)^3=A^(3-1)*(A-1)^(3-3)+A^(3-2)*(A-1)^(3-2)+A^(3-3)*(A-1)^(3-1)

　　幾何上的理解是：

　　長方向的A與高方向上的A厚度為1的體積、寬方向上的（A-1）與高方向上的A厚度為1的體積、長方向上的（A-1）與寬方向上的（A-1）厚度為1的體積，這三塊體積之和。

　　對于不相鄰兩個數(shù)P、Q的三次方的差，可以看作是厚度為（P-Q）的形成體積的體積差，一般公式為：

　　P^3-Q^3=[P^(3-1)*Q^(3-3)+P^(3-2)*Q^(3-2)+P^(3-3)*Q^(3-1)]*(P-Q)

　　三、推廣到四次方

　　同樣，可以知道相鄰兩個數(shù)的四次方之差公式：

　　(A+1)^4-A^4=(A+1)^(4-1)*A^(4-4)+(A+1)^(4-2)*A^(4-3)+(A+1)^(4-3)*A^(4-2)+(A+1)^(4-4)*A^(4-1)

　　不相鄰兩數(shù)的四次方之差的一般公式：

　　P^4-Q^4=[P^(4-1)*Q^(4-4)+P^(4-2)*Q^(4-3)+P^(4-3)*Q^(4-2)+P^(4-4)*Q^(4-1)]*(P-Q)

　　四、結(jié)論：兩個數(shù)的n次方之差計算方法，

　　綜上，我們可以由簡單而復(fù)雜，推而廣之，得出

　　相鄰兩個數(shù)的n次方的差的一般公式：

　　P^n - Q^n=P^(n-1)*Q^(n-n)+P^(n-2)*Q^1+ P^(n-3)*Q^2+ P^(n-4)*Q^3+……+ P^(n-n)*Q^(n-1)

　　不相鄰兩個數(shù)的n次方的差的一般公式：

　　P^n - Q^n=[P^(n-1)*Q^(n-n)+P^(n-2)*Q^1+ P^(n-3)*Q^2+ P^(n-4)*Q^3+……+ P^(n-n)*Q^(n-1)]*(P-Q)

　　五、驗證：

　　⑴ 相鄰兩數(shù)的N次方的差的計算驗證

　　3^4-2^4=81-16=65
　　3^4-2^4=3^3*2^0 + 3^2*2^1 + 3^1*2^2 + 3^0*2^3=65
　　6^6-5^6=46656-15625=31031
　　6^6-5^6=6^5*5^0 + 6^4*5^1 + 6^3*5^2 + 6^2*5^3 + 6^1*5^4 + 6^0*5^5=31031

　　⑵不相鄰兩數(shù)的N次方的計算驗證

　　10^5-5^5=10000-3125=96875
　　10^5-5^5=[10*10*10*10*1+10*10*10*5+10*10*5*5+10*5*5*5+5*5*5*5]*5
　　=[10000+5000+2500+1250+625]*5=19375*5=96875
　　11^6-9^6=1771561-531441=1240120
　　11^6-9^6=[11^5*1+11^4*9+11^3*9^2+11^2*9^3+11^1*9^4+1*9^5]*(11-9)
　　=[161051+131769+107811+88209+72171+59049]*2
　　=620060*2=1240120

　　參考文獻：

　　1. 人大附中劉彭芝主編，2004年，《仁華學校奧林匹克數(shù)學課本》(小學六年級)；

　　2. 科學出版社，《現(xiàn)代小學數(shù)學》（六年級上冊）。

指導(dǎo)教師：周脧  

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