（一）--整數的誕生

　　公共汽車上，有一位年輕的媽媽抱著她的小寶寶坐在車窗邊，她正在教她的小寶寶數數呢。她伸出一個手指問：“這是幾呀？”正在咿呀學語的小孩望了望媽媽，答道：“一”。媽媽伸出了兩個手指問：“這是幾呀？”小孩想了想答道：“二”。媽媽又伸出三個手指，小孩猶豫了好一陣，回答：“三。”再伸四個手指時，小孩答不出來了。在這個小孩看來，那些手指實在太多了，他已經數不清了。其實，能數到三，對一個黃口孺子來說，已經很不簡單了。

　　要知道，學會數數，那可是人類經過成千上萬年的奮斗才得到的結果。如果我們穿過“時間隧道”來到二、三百萬年前的遠古時代，和我們的祖先--類人猿在一起，我們會發現他們根本不識數，他們對事物只有“有”與“無”這兩個數學概念。類人猿隨著直立行走使手腳分工，通過勞動逐步學會使用工具與制造工具，并產生了簡單的語言，這些活動使類人猿的大腦日趨發達，最后完成了由猿向人的演化。這時的原始人雖沒有明確的數的概念，但已由“有”與“無”的概念進化到“多”與“少”的概念了。“多少”比“有無”要精確。這種概念精確化的過程最后就導致“數”的產生。

　　上古的人類還沒有文字，他們用的是結繩記事的辦法（《周易》中就有“上古結繩而治，后世圣人，易之以書契”的記載）。遇事在草繩上打一個結，一個結就表示一件事，大事大結，小事小結。這種用結表事的方法就成了“符號”的先導。長輩拿著這根繩子就可以告訴后輩某個結表示某件事。這樣代代相傳，所以一根打了許多結的繩子就成了一本歷史教材。本世紀初，居住在琉球群島的土著人還保留著結繩記事的方法。而我國西南的一個少數民族，也還在用類似的方法記事，他們的首領有一根木棍，上面刻著的道道就是用于記事的。

　　又經過了很長的時間，原始人終于從一頭野豬，一只老虎，一把石斧，一個人，……這些不同的具體事物中抽象出一個共同的數字--“1”。數“1”的出現對人類來說是一次大的飛躍。人類就是從這個“1”開始，又經過很長一段時間的努力，逐步地數出了“2”、“3”……，對于原始人來說，每數出一個數（實際上就是每增加一個專用符號或語言）都不是簡單的事。直到本世紀初，人們還在原始森林中發現一些部落，他們數數的本領還很低。例如在一個馬來人的部落里，如果你去問一個老頭的年齡，他只會告訴你：“我8歲”。這是怎么回事呢？因為他們還不會數超過“8”的數。對他們來說，“8”就表示“很多”。有時，他們實在無法說清自己的年齡，就只好指著門口的棕櫚樹告訴你：“我跟它一樣大。”

　　1，2，3，4，……，10，11，12，……

　　可能由于古人覺得，打了一只野兔又吃掉，野兔已經沒有了，“沒有”是不需要用數來表示的。所以數“0”出現得很遲。換句話說，零不是自然數。

　　后來由于實際需要又出現了負數。我國是最早使用負數的國家。西漢（公元前二世紀）時期，我國就開始使用負數。《九章算術》中已經給出正負數運算法則。人們在計算時就用兩種顏色的算籌分別表示正數和負數，而用空位表示“0”，只是沒有專門給出0的符號。“0”這個符號，最早在公元五世紀由印度人阿爾耶婆哈答使用。

　　讓我們再穿過“時間隧道”回到幾萬年前吧，一群原始人正在向一群野獸發動大規模的圍獵。只見石制箭鏃與石制投槍呼嘯著在林中掠過，石斧上下翻飛，被擊中的野獸在哀嚎，尚未倒下的野獸則狼奔豕突，拼命奔逃。這場戰斗一直延續到黃昏。晚上，原始人在他們棲身的石洞前點燃了篝火，他們圍著篝火一面唱一面跳，歡慶著勝利，同時把白天捕殺的野獸抬到火堆邊點數。他們是怎么點數的呢？就用他們的“隨身計數器”吧。一個，二個，……，每個野獸對應著一根手指。等到十個手指用完，怎么辦呢？先把數過的十個放成一堆，拿一根繩，在繩上打一個結，表示“手指這么多野獸”（即十只野獸）。再從頭數起，又數了十只野獸，堆成了第二堆，再在繩上打個結。這天，他們的收獲太豐盛了，一個結，二個結，……，很快就數到手指一樣多的結了。于是換第二根繩繼續數下去。假定第二根繩上打了3個結后，野獸只剩下6只。那么，這天他們一共獵獲了多少野獸呢？ 1根繩又3個結又6只，用今天的話來說，就是

　　1根繩=10個結，1個結=10只。

　　所以1根繩3個結又6只=136只。

　　你看，“逢十進一”的十進制就是這樣得到的。現在世界上幾乎所有的民族都采用了十進制，這恐怕跟人有十根手指密切相關。當然，過去有許多民族也曾用過別的進位制，比如瑪雅人用的是二十進制。我想，大家一定很清楚這是什么原因：他們是連腳趾都用上了。我國古時候還有五進制，你看算盤上的一個上珠就等于五個下珠。而巴比侖人則用過六十進制，現在的時間進位，還有角度的進位就用的六十進制，換算起來就不太方便。英國人則用的是十二進制（1英尺=12英寸，l籮=12打，1打=12個）。

　　我們再追溯到五千到八千年前看一看，這時，四大文明古國都早已從母系社會過渡到父系社會了，生產力的發展導致國家雛形的產生，生產規模的擴大則刺激了人們對大數的需要。比如某個原始國家組織了一支部隊，國王陛下總不能老是說：“我的這支戰無不勝的部隊共計有9名士兵！”于是，慢慢地就出現了“十”、“百”、“千”、“萬”這些符號。在我國商代的甲骨文上就有“八日辛亥允戈伐二千六百五十六人”的刻文。即在八日辛亥那天消滅敵人共計2656人。在商周的青銅器上也刻有一些大的數字。以后又出現了“億”、“兆”這樣的大數單位。

　　而在古羅馬，最大的記數單位只有“千”。他們用M表示一千。“三千”則寫成“MMM”。“一萬”就得寫成“MMMMMM－MMMM”。真不敢想象，如果他們需要記一千萬時怎么辦，難道要寫上一萬個M不成？

　　然而，古希臘有一位偉大的學者，他卻數清了“充滿宇宙的沙子數”，那就是阿基米德。他寫了一篇論文，叫做《計沙法》，在這篇文章中，他提出的記數方法，同現代數學中表示大數的方法很類似。他從古希臘的最大數字單位“萬”開始，引進新數“萬萬（億）”作為第二階單位，然后是“億億”（第三階單位），“億億億”（第四階單位），等等，每階單位都是它前一階單位的1億倍。

　　阿基米德的同時代人、天文學家阿里斯塔克斯曾求出地球到天球面距離10，000，000，000斯塔迪姆（1斯塔迪姆=188米），這個距離當然比現在我們所認識的宇宙要小得多，這才僅僅是太陽到土星的距離。阿基米德假定這個“宇宙”里充滿了沙子。然后開始計算這些沙子的數目。最后他寫道：

　　“顯然，在阿里斯塔克斯計算出的天球里所能裝入的沙子的粒數，不會超過一千萬個第八階單位。”如果要把這個沙子的數目寫出來，就是10，000，000×（100，000，000）⁷或者就得在1后邊寫上63個0：1，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000。這個數，我們現在可以把它寫得簡單一些：即寫成1×10⁶³。而這種簡單的寫法，據說是印度某個不知名的數學家發明的。

　　現在，我們還可更進一步把這種方法推廣到記任何數，例如：32，000，000就可記為3．2×10⁷，而0．0000032則可記為3．2×10^-6。這種用在1與10間的一個數乘以10的若干次冪的記數方法就是“科學記數法”。這種記數法既方便，又準確，又簡潔，還便于進行計算，所以得到了廣泛的使用。