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(上冊)第二講 質數、合數和分解質因數

2009-08-20 10:44:06      下載試卷

一、基本概念和知識


  1.質數與合數

  一個數除了1和它本身,不再有別的約數,這個數叫做質數(也叫做素數)。

  一個數除了1和它本身,還有別的約數,這個數叫做合數。

  要特別記住:1不是質數,也不是合數。

  2.質因數與分解質因數

  如果一個質數是某個數的約數,那么就說這個質數是這個數的質因數。

  把一個合數用質因數相乘的形式表示出來,叫做分解質因數。

  例:把30分解質因數。

  解:30=2×3×5。

  其中2、3、5叫做30的質因數。

  又如12=2×2×3=22×3,2、3都叫做12的質因數。

二、例題


例1 三個連續自然數的乘積是210,求這三個數.

  解:∵210=2×3×5×7

  ∴可知這三個數是5、6和7。

例2 兩個質數的和是40,求這兩個質數的乘積的最大值是多少?

  解:把40表示為兩個質數的和,共有三種形式:

  40=17+23=11+29=3+37。

  ∵17×23=391>11×29=319>3×37=111。

  ∴所求的最大值是391。

  答:這兩個質數的最大乘積是391。

例3 自然數123456789是質數,還是合數?為什么?

  解:123456789是合數。

  因為它除了有約數1和它本身外,至少還有約數3,所以它是一個合數。

例4 連續九個自然數中至多有幾個質數?為什么?

  解:如果這連續的九個自然數在1與20之間,那么顯然其中最多有4個質數(如:1~9中有4個質數2、3、5、7)。

  如果這連續的九個自然中最小的不小于3,那么其中的偶數顯然為合數,而其中奇數的個數最多有5個.這5個奇數中必只有一個個位數是5,因而5是這個奇數的一個因數,即這個奇數是合數.這樣,至多另4個奇數都是質數。

  綜上所述,連續九個自然數中至多有4個質數。

例5 把5、6、7、14、15這五個數分成兩組,使每組數的乘積相等。

  解:∵5=5,7=7,6=2×3,14=2×7,15=3×5,

  這些數中質因數2、3、5、7各共有2個,所以如把14

  (=2×7)放在第一組,那么7和6(=2×3)只能放在第二組,繼而15(=3×5)只能放在第一組,則5必須放在第二組。

  這樣14×15=210=5×6×7。

  這五個數可以分為14和15,5、6和7兩組。

例6 有三個自然數,最大的比最小的大6,另一個是它們的平均數,且三數的乘積是42560.求這三個自然數。

分析 先大概估計一下,30×30×30=27000,遠小于42560.40×40×40=64000,遠大于42560.因此,要求的三個自然數在30~40之間。

  解:42560=26×5×7×19

  =25×(5×7)×(19×2)

  =32×35×38(合題意)

  要求的三個自然數分別是32、35和38。

例7 有3個自然數a、b、c.已知a×b=6,b×c=15,

  a×c=10.求a×b×c是多少?

  解:∵6=2×3,15=3×5,10=2×5。

  (a×b)×(b×c)×(a×c)

  =(2×3)×(3×5)×(2×5)

  ∴a2×b2×c2=22×32×52

  ∴(a×b×c)2=(2×3×5)2

  a×b×c=2×3×5=30

  在例7中有a2=22,b2=32,c2=52,其中22=4,32=9,52=25,像4、9、25這樣的數,推及一般情況,我們把一個自然數平方所得到的數叫做完全平方數或叫做平方數。

  如.12=1,22=4,32=9,42=16,…,112=121,122=144,…其中1,4,9,16,…,121,144,…都叫做完全平方數.

  下面讓我們觀察一下,把一個完全平方數分解質因數后,各質因數的指數有什么特征。

  例如:把下列各完全平方數分解質因數:

  9,36,144,1600,275625。

  解:9=32 36=22×32 144=32×24

  1600=26×52 275625=32×54×72

  可見,一個完全平方數分解質因數后,各質因數的指數均是偶數。

  反之,如果把一個自然數分解質因數之后,各個質因數的指數都是偶數,那么這個自然數一定是完全平方數。

  如上例中,36=62,144=122,1600=402,275625=5252。

例8 一個整數a與1080的乘積是一個完全平方數.求a的最小值與這個平方數。

分析 ∵a與1080的乘積是一個完全平方數,

  ∴乘積分解質因數后,各質因數的指數一定全是偶數。

  解:∵1080×a=23×33×5×a,

  又∵1080=23×33×5的質因數分解中各質因數的指數都是奇數,

  ∴a必含質因數2、3、5,因此a最小為2×3×5。

  ∴1080×a=1080×2×3×5=1080×30=32400。

  答:a的最小值為30,這個完全平方數是32400。

例9 問360共有多少個約數?

分析 360=23×32×5。

  為了求360有多少個約數,我們先來看32×5有多少個約數,然后再把所有這些約數分別乘以1、2、22、23,即得到23×32×5(=360)的所有約數.為了求32×5有多少個約數,可以先求出5有多少個約數,然后再把這些約數分別乘以1、3、32,即得到32×5的所有約數。

  解:記5的約數個數為Y1,

  32×5的約數個數為Y2,

  360(=23×32×5)的約數個數為Y3.由上面的分析可知:

  Y3=4×Y2,Y2=3×Y1,

  顯然Y1=2(5只有1和5兩個約數)。

  因此Y3=4×Y2=4×3×Y1=4×3×2=24。

  所以360共有24個約數。

  說明:Y3=4×Y2中的“4”即為“1、2、22、23”中數的個數,也就是其中2的最大指數加1,也就是360=23×32×5中質因數2的個數加1;Y2=3×Y1中的“3”即為“1、3、32”中數的個數,也就是23×32×5中質因數3的個數加1;而Y1=2中的“2”即為“1、5”中數的個數,即23×32×5中質因數5的個數加1.因此

  Y3=(3+1)×(2+1)×(1+1)=24。

  對于任何一個合數,用類似于對23×32×5(=360)的約數個數的討論方式,我們可以得到一個關于求一個合數的約數個數的重要結論:

  一個合數的約數個數,等于它的質因數分解式中每個質因數的個數(即指數)加1的連乘的積。

例10 求240的約數的個數。

  解:∵240=24×31×51,

  ∴240的約數的個數是

  (4+1)×(1+1)×(1+1)=20,

  ∴240有20個約數。

  請你列舉一下240的所有約數,再數一數,看一看是否是20個?

來源:網絡資源 作者:匿名

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