再進(jìn)一步，若脫離開圖形（點(diǎn)群）的背景，純粹從數(shù)的方面找規(guī)律，不難發(fā)現(xiàn)下述事實(shí)：

　　這個(gè)等式的左邊就是從1開始的連續(xù)自然數(shù)相加之和，第一個(gè)數(shù)1又叫首項(xiàng)，最后一個(gè)數(shù)9叫末項(xiàng)，共有9個(gè)數(shù)又可以說成共有9項(xiàng)，這樣，等式的含義就可以用下面的語(yǔ)言來表述：

　　從1開始的連續(xù)自然數(shù)前幾項(xiàng)的和等于首項(xiàng)加末項(xiàng)之和乘以項(xiàng)數(shù)的積的一半．或是寫成下面的文字式：

　　和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2

　　這個(gè)文字式通常又叫做等差數(shù)列求和公式．

　　例4 數(shù)一數(shù)，下圖中有多少個(gè)點(diǎn)？

　　解：方法1：從上至下一層一層地?cái)?shù)，見下圖：

　　總點(diǎn)數(shù)=2+3+4+5+6=20．

　　方法2：補(bǔ)上一個(gè)同樣的梯形點(diǎn)群，但要上下顛倒放置，和原圖一起拼成一個(gè)長(zhǎng)方形點(diǎn)群如下圖所示：

　　由圖可見，有下列等式成立：

　　梯形點(diǎn)數(shù)=長(zhǎng)方形點(diǎn)數(shù)÷2．

　　因?yàn)樘菪吸c(diǎn)數(shù)=2+3+4+5+6

　　而長(zhǎng)方形點(diǎn)數(shù)=8×5=（2+6）×5

　　代入上面的文字式，可得：

　　2+3+4+5+6=（2+6）×5÷2

　　與例1類似，我們用拼補(bǔ)法得到了一個(gè)計(jì)算梯形點(diǎn)群總點(diǎn)數(shù)的較為簡(jiǎn)單的公式．

　　再進(jìn)一步，若脫離開圖形（點(diǎn)群）的背景純粹從數(shù)的方面找找規(guī)律，不難發(fā)現(xiàn)下述事實(shí)：

　　這個(gè)等式的左邊就是一個(gè)等差數(shù)列的求和式，它的首項(xiàng)是2，末項(xiàng)是6，公差是1，項(xiàng)數(shù)是5．這樣這個(gè)等式的含義就可以用下面的語(yǔ)言來表述：

　　等差數(shù)列前幾項(xiàng)的和等于首項(xiàng)加末項(xiàng)之和乘以項(xiàng)數(shù)的積的一半．

　　寫成下面較簡(jiǎn)化的文字式：

　　和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2

　　這就是等差數(shù)列的求和公式．

　　例5 數(shù)一數(shù)，下圖中有多少個(gè)小三角形？

　　解：方法1：從上至下一層一層地?cái)?shù)，見下圖．

　　小三角形總數(shù)=1+3+5+7=16個(gè)．

　　方法2：補(bǔ)上一個(gè)同樣的圖形，但要上下顛倒放置、和原來的一起拼成一個(gè)大平行四邊形如下圖所示．

　　顯然平行四邊形包含的小三角形個(gè)數(shù)等于原圖中的大三角形所包含的小三角形個(gè)數(shù)的兩倍，即下式成立．

　　大三角形中所含=平行四邊形所含÷2

　　平行四邊形所含=8×4=（1+7）×4（個(gè)）

　　大三角形中所含=1+3+5+7=16

　　代入上述文字式：

　　1+3+5+7＝（1+7）×4÷2

　　這樣，我們就得到了一個(gè)公式：

　　小三角形個(gè)數(shù)=（第一層的數(shù)+最末層的數(shù)）×層數(shù)÷2

　　脫離開圖形的背景，純粹從數(shù)的方面進(jìn)行考察，找找規(guī)律，不難發(fā)現(xiàn)下述事實(shí)：

　　等式左邊就表示一個(gè)等差數(shù)列的前幾項(xiàng)的和，它的首項(xiàng)是1，末項(xiàng)是7，公差是2，項(xiàng)數(shù)是4．這樣這個(gè)等式的含義也就可以用下面的語(yǔ)言來表述：

　　等差數(shù)列前幾項(xiàng)的和等于首項(xiàng)加末項(xiàng)之和乘以項(xiàng)數(shù)之積的一半．

　　寫成較簡(jiǎn)單的文字式：

　　和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2．