從數數與計數中，可以發現重要的算術運算定律．
例1 數一數，下面圖形中有多少個點？
解：方法1：從上到下一行一行地數，見下圖．
點的總數是：
5+5+5+5=5×4．
方法2：從左至右一列一列地數，見下圖．
點的總數是：4+4+4+4+4=4×5．
因為不論人們怎樣數，點數的多少都是一定的，不會因為數數的方法不同而變化．所以應有下列等式成立：
5×4=4×5
從這個等式中，我們不難發現這樣的事實：
兩個數相乘，乘數和被乘數互相交換，積不變．
這就是乘法交換律．
正因為這樣，在兩個數相乘時，以后我們也可以不再區分哪個是乘數，哪個是被乘數，把兩個數都叫做“因數”，因此，乘法交換律也可以換個說法：
兩個數相乘，交換因數的位置，積不變．
如果用字母a、b表示兩個因數，那么乘法交換律可以表示成下面的形式：a×b=b×a．
方法3：分成兩塊數，見右圖．
前一塊4行，每行3個點，共3×4個點．
后一塊4行，每行2個點，共2×4個點．
兩塊的總點數=3×4+2×4．
因為不論人們怎樣數，原圖中總的點數的多少都是一定的，不會因為數數的方法不同而變化．所以應有下列等式成立：
3×4+2×4=5×4．
仔細觀察圖和等式，不難發現其中三個數的關系：
3+2=5
所以上面的等式可以寫成：
3×4+2×4=（3+2）×4
也可以把這個等式調過頭來寫成：
（3+2）×4=3×4+2×4．
這就是乘法對加法的分配律．
如果用字母a、b、c代表三個數，那么乘法對加法的分配律可以表示成下面的形式：
（a+b）×c=a×c+b×c
分配律的意思是說：兩個數相加之和再乘以第三數的積等于第一個數與第三個數的積加上第二個數與第三個數的積之和．
進一步再看，分配律是否也適用于括號中是減法運算的情況呢？請看下面的例子：
計算（3-2）×4和3×4-2×4．
解：（3-2）×4=1×4=4
3×4-2×4=12-8=4．
兩式的計算結果都是4，從而可知：
（3-2）×4=3×4-2×4
這就是說，這個分配律也適用于一個數與另一個數的差與第三個數相乘的情況．
如果用字母a、b、c（假設a>b）表示三個數，那么上述事實可以表示如下：（a-b）×c=a×c-b×c．
正因為這個分配律對括號中的“+”和“-”號都成立，于是，通常人們就簡稱它為乘法分配律．
例2 數一數，下左圖中的大長方體是由多少個小長方體組成的？
解：方法1：從上至下一層一層地數，見上右圖．
第一層 4×2個
第二層 4×2個
第三層 4×2個
三層小長方體的總個數（4×2）×3個．
方法2：從左至右一排一排地數，見下圖．
第一排 2×3個
第二排 2×3個
第三排 2×3個
第四排 2×3個
四排小長方體的總個數為（2×3）×4．
若把括號中的2×3看成是一個因數，就可以運用乘法交換律，寫成下面的形式：4×（2×3）．
因為不論人們怎樣數，原圖中小長方體的總個數是一定的，不會因為數數的方法不同而變化．把兩種方法連起來看，應有下列等式成立：（4×2）×3=4×（2×3）．
這就是說在三個數相乘的運算中，改變相乘的順序，所得的積相同．
或是說，三個數相乘，先把前兩個數相乘再乘以第三個數，或者先把后兩個數相乘，再去乘第一個數，積不變，這就是乘法結合律．
如果用字母a、b、c表示三個數，那么乘法結合律可以表示如下：（a×b）×c=a×（b×c）．
巧妙地運用乘法交換律、分配律和結合律，可使得運算變得簡潔、迅速．
從數數與計數中，還可以發現巧妙的計算公式．
例3 數一數，下圖中有多少個點？
解：方法1：從上至下一層一層地數，見下圖．
總點數=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45．
方法2：補上一個同樣的三角形點群（但要上下顛倒放置）和原有的那個三角形點群共同拼成一個長方形點群，則顯然有下式成立（見下圖）：
三角形點數=長方形點數÷2
因三角形點數=1+2+3+4+5+6+7+8+9
而長方形點數=10×9=（1+9）×9
代入上面的文字公式可得：
1+2+3+4+5+6+7+8+9
=（1+9）×9÷2=45．
進一步把兩種方法聯系起來看：
方法1是老老實實地直接數數．
方法2可以叫做“拼補法”．經拼補后，三角形點群變成了長方形點群，而長方形點群的點數就可以用乘法算式計算出來了．
即1+2+3+4+5+6+7+8+9
=（1+9）×9÷2．
這樣從算法方面講，拼補法的作用是把一個較復雜的連加算式變成了一個較簡單的乘除算式了．這種方法在700多年前的中國的古算書上就出現了．
