數(shù)學(xué)故事——點(diǎn)兵場(chǎng)上的神算術(shù)

　　韓信是我國(guó)漢初的一員大獎(jiǎng)，善于帶兵。相傳有一天，他在一名部將的陪同下，檢閱士兵的操練。當(dāng)全體士兵編成三路縱隊(duì)時(shí)，韓信問(wèn)：“最后一排剩多少人?”部將報(bào)告：“排尾剩下2人，”當(dāng)隊(duì)伍編成五路縱隊(duì)時(shí)，韓信又問(wèn)：“最后一排剩幾人?”答說(shuō)：“剩下3人”，最后韓信又下達(dá)了隊(duì)伍編成七路縱隊(duì)的命令，并得知排尾依舊余有2人。

　　編隊(duì)結(jié)束后，韓問(wèn)：“今天有多少將士參加操練?”部將回答說(shuō)：“今天上場(chǎng)操練的應(yīng)當(dāng)有2345人。”韓信想了一想說(shuō)：“不對(duì)吧!場(chǎng)上實(shí)際只有2333人，比你報(bào)的數(shù)字要少12個(gè)。”部將半信半疑，下令重新清點(diǎn)隊(duì)伍，結(jié)果果然是2333人，一個(gè)不差，于是驚服。當(dāng)部將問(wèn)韓信是怎樣得知準(zhǔn)確數(shù)字時(shí)，韓信笑著說(shuō)：“我是根據(jù)你剛才報(bào)的編隊(duì)排尾余數(shù)算出來(lái)的。”

　　上面就是著名的“韓信點(diǎn)兵”的故事。故事的情節(jié)無(wú)疑是后人杜撰的，但點(diǎn)兵場(chǎng)上的神算術(shù)，卻包含著深刻的科學(xué)道理。它源于公元二世紀(jì)我國(guó)古代的一部算書(shū)《孫子算經(jīng)》。

　　《孫子算經(jīng)》里有這樣一道題：有個(gè)數(shù)字，用三除余數(shù)是二，用五除余數(shù)是三，用七除余數(shù)又是二。現(xiàn)在問(wèn)這究竟是什么數(shù)字?由于這道問(wèn)題融趣味性的困難性于一體，使得在千百年的歷史長(zhǎng)河中，演化出許多頗帶神秘色彩的名字：諸如“鬼谷算”、“神奇妙算”、“簡(jiǎn)管術(shù)”、“秦王暗點(diǎn)兵”、“大衍求一術(shù)”等等。這些無(wú)從查考的名字，除最后一個(gè)外，實(shí)在都與問(wèn)題的本身風(fēng)馬牛不相及。

　　這道題《孫子算經(jīng)》中提供了以下答案：先把5和7相乘，再乘2，得出70，用3除余數(shù)是1；再用3和7相乘，得出21，用5除余數(shù)又是1；再用3和5乘得出15，用7除余數(shù)也是1。然后把用3除所得的余數(shù)2和70相乘，得出140；把用5除所得的余數(shù)3和21相乘，得出63；把用7除所得的余數(shù)2和15相乘，得出30。再把以上所得的140，63，30三者加起來(lái)，得233。由于3×5×7=105，所以233扣去兩倍的105，得到數(shù)23。它除以3，5，7時(shí)，余數(shù)不會(huì)改變。所以23就是“物不知數(shù)”問(wèn)題的最簡(jiǎn)答案。

　　以上算法可以歸納為兩個(gè)式子：

　　70×2+21×3+15×2=233

　　233-105×2=23

　　公元1593年，我國(guó)明代數(shù)學(xué)家程大位，在《算法統(tǒng)宗》一書(shū)中，還把《孫子算經(jīng)》上的方法，概括為一首頗妙的詩(shī)：

　　“三人同行七十稀，五樹(shù)梅花二十一枝；

　　七子團(tuán)圓正半月，除百零五便得知。”