數學故事——點兵場上的神算術

　　韓信是我國漢初的一員大獎，善于帶兵。相傳有一天，他在一名部將的陪同下，檢閱士兵的操練。當全體士兵編成三路縱隊時，韓信問：“最后一排剩多少人?”部將報告：“排尾剩下2人，”當隊伍編成五路縱隊時，韓信又問：“最后一排剩幾人?”答說：“剩下3人”，最后韓信又下達了隊伍編成七路縱隊的命令，并得知排尾依舊余有2人。

　　編隊結束后，韓問：“今天有多少將士參加操練?”部將回答說：“今天上場操練的應當有2345人。”韓信想了一想說：“不對吧!場上實際只有2333人，比你報的數字要少12個。”部將半信半疑，下令重新清點隊伍，結果果然是2333人，一個不差，于是驚服。當部將問韓信是怎樣得知準確數字時，韓信笑著說：“我是根據你剛才報的編隊排尾余數算出來的。”

　　上面就是著名的“韓信點兵”的故事。故事的情節無疑是后人杜撰的，但點兵場上的神算術，卻包含著深刻的科學道理。它源于公元二世紀我國古代的一部算書《孫子算經》。

　　《孫子算經》里有這樣一道題：有個數字，用三除余數是二，用五除余數是三，用七除余數又是二。現在問這究竟是什么數字?由于這道問題融趣味性的困難性于一體，使得在千百年的歷史長河中，演化出許多頗帶神秘色彩的名字：諸如“鬼谷算”、“神奇妙算”、“簡管術”、“秦王暗點兵”、“大衍求一術”等等。這些無從查考的名字，除最后一個外，實在都與問題的本身風馬牛不相及。

　　這道題《孫子算經》中提供了以下答案：先把5和7相乘，再乘2，得出70，用3除余數是1；再用3和7相乘，得出21，用5除余數又是1；再用3和5乘得出15，用7除余數也是1。然后把用3除所得的余數2和70相乘，得出140；把用5除所得的余數3和21相乘，得出63；把用7除所得的余數2和15相乘，得出30。再把以上所得的140，63，30三者加起來，得233。由于3×5×7=105，所以233扣去兩倍的105，得到數23。它除以3，5，7時，余數不會改變。所以23就是“物不知數”問題的最簡答案。

　　以上算法可以歸納為兩個式子：

　　70×2+21×3+15×2=233

　　233-105×2=23

　　公元1593年，我國明代數學家程大位，在《算法統宗》一書中，還把《孫子算經》上的方法，概括為一首頗妙的詩：

　　“三人同行七十稀，五樹梅花二十一枝；

　　七子團圓正半月，除百零五便得知。”