數學故事——稀少而有趣的完美數

　　已知自然數a和b，如果b能夠整除a，就說b是a的一個因數，也稱為約數。顯然，任何自然數a，總有因數1和a。我們把小于a的因數叫做a的真因數。

　　例如6，12，14這三個數的所有真因數：

　　6：1，2，3；1+2+3=6

　　12：1，2，3，4，6；1+2+3+4+6=16>12

　　14：1，2，7；1+2+7=10<14

　　像12這樣小于它的真因數之和的叫做虧數(不足數)；大于真因數之和的(如14)叫做盈數或過剩數；恰好相等的(如6)叫做完全數，也稱為完美數。

　　古希臘人非常重視完全數。大約在公元100年，尼哥馬修斯寫了第一本專門研究數論的書《算術入門》，其中寫道：“也許是這樣：正如美的、卓絕的東西是罕有的，是容易計數的，而丑的、壞的東西卻滋蔓不已；所以盈數和虧數非常之多，而且紊亂無章，它們的發現也毫無系統。但是完全數則易于計數，而且又順理成章……，它們具有一致的特性；尾數都是6或8，而且永遠是偶數。”

　　現在數學家已發現，完全數非常稀少，至今人們只發現29個，而且都是偶完全數。前5個分別是：6，28，496，8128，33550336。

　　完全數有許多有趣的性質，例如：

　　1.它們都能寫成連續自然數之和：

　　6=1+2+3，28=1+2+3+4+5+6+7，496=1+2+3+4+……+31，8128=1+2+3+4+……+127；

　　2.它們的全部因數的倒數之和都是2。

　　1/1+1/2+1/3+1/6=2

　　1/1+1/2+1/4+1/7+1/(14)+1/(28)=2

　　1/1+1/2+1/4+1/8+1/(16)+1/(31)+1/(62)+1/(124)+1/(248)+1/(496)=2