三角函數(shù)與反三角函數(shù)，是五種基本初等函數(shù)中的兩種，在現(xiàn)代科學(xué)的很多領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用．同時它也是高考、數(shù)學(xué)競賽中的必考內(nèi)容之一．

一、三角函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

　 三角函數(shù)的性質(zhì)大體包括：定義域、值域、奇偶性、周期性、單調(diào)性、最值等．這里以單調(diào)性為最難．它們在平面幾何、立體幾何、解析幾何、復(fù)數(shù)等分支中均有廣泛的應(yīng)用．

【例1】　求函數(shù)y=2sin(-2x)的單調(diào)增區(qū)間。

解：y=2sin(-2x)= 2sin(2x+)。

由2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z，

得kπ-≤x≤kπ-，k∈Z。

即原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：[kπ-，kπ-]（k∈Z）。

【例2】　 若φ∈（0，），比較sin(cosφ)，cos(sinφ)，cosφ這三者之間的大小。

解：∵在（0，）中，sinx<x<tgx，而0<cosx<1<，∴sin(cosφ)< cosφ。

∵在（0，）中，y=cosx單調(diào)遞減，∴cosφ< cos(sinφ)。

∴sin(cosφ)< cosφ< cos(sinφ)。

【例3】　 已知x,y∈[-，]，a∈R，且。求cos(x+2y)的值。

解：原方程組化為。

∵x,-2y∈[-，]，函數(shù)f(t)=t³+sint在[-，]上單調(diào)遞增，且f(x)=f(-2y)

∴x=2y，∴cos(x+2y)=1。

【例4】　求證：在區(qū)間（0，）內(nèi)存在唯一的兩個數(shù)c、d(c＜d)，使得 sin（cosc）＝ c， cos（sind）＝ d．

證明：考慮函數(shù)f（x）＝cos（sinx）－x，在區(qū)間[0，]內(nèi)是單調(diào)遞減的，并且連續(xù)，由于f（0）＝cos（sin0）－0=1>0，f（）＝cos（sin）－= cos 1－<0，

∴存在唯一的d∈（0，），使f（d）＝0，即cos（sind）＝ d．

對上式兩邊取正弦，并令c=sind，有sin（cos（sind））=sin d，sin（cosc）=c。

顯然c∈（0，）。且由y=sinx在（0，）上的單調(diào)性和d的唯一性，知c也唯一。

故存在唯一的c＜d，使命題成立。

【例5】α、β、γ∈（0，），且ctgα=α，sin(ctgβ)=β，ctg(sinγ)=γ。比較α、β、γ的大小。

解：∵α、β、γ∈（0，），∴ctgβ>0，0< sinγ<γ<。

∴β=sin(ctgβ)< ctgβ，γ=ctg(sinγ)> ctgγ。

作出函數(shù)y=ctgx在（0，）上的圖象，可看出：β<α<γ。

【例6】　 n∈N，n≥2，求證：cos?cos? ??? ?cos>。

證明：∵0<<<???<<<1，

∴0<sin<，cos²=1-sin²>1-=，k=2，3，…，n。

∴(cos?cos? ??? ?cos)²>(?)?(?)?(?)???(?)

=?>>()²，

∴cos?cos? ??? ?cos>。

二、三角恒等變換

眾多的三角公式，構(gòu)成了豐富多彩的三角學(xué)。要靈活地進(jìn)行三角恒等變換，除熟練地掌握三角公式以及一般的代數(shù)變形技巧外，更重要的是抓住三角式的結(jié)構(gòu)特征，從角和函數(shù)名入手，深入分析，靈活解題。

【例1】（1）已知cosβ= -，sin(α+β)= ，且0<α<<β<π，求sinα的值。

（2）已知sin(-α)= ，求的值。

提示：（1）sinα=。

（2）sin2α=1-2 sin²(-α)=；=。

【說明】三角變換重在角的變換。

【例2】求coscoscos…cos的值。

解法1：利用公式cosθcos2θcos4θ???cos2ⁿθ=，得

coscoscoscos= -，∴coscoscoscos=。

又coscos=，cos=，

∴coscoscos…cos=××=。

解法2：coscoscos…cos

=??? ??? ?

==。

解法3：利用公式cosαcos(+α)cos(-α)= cos3α，取α=、。

【例3】求cos⁴20°+cos⁴40°+cos⁴80°的值。

解：由倍角公式得

cos⁴θ=()²= (1+2cos2θ+cos²2θ)= +cos2θ+cos4θ，

∴cos⁴20°+cos⁴40°+cos⁴80°= ×3+(cos40°+ cos80°+ cos160°)

+(cos80°+ cos160°+ cos320°)= +(cos40°+ cos80°+ cos160°)

= +(2cos60° cos20°- cos20°)= 。

【例4】若sinα+cosβ=，cosα+sinβ=，求sinαcosβ的值。

解：令θ=-β，則

(1)÷(2)得tg=， cos(α+θ)=，

∴sinαcosβ=sinαsinθ= -[ cos(α+θ)+ cos(α-θ)] = -。

【例5】已知f(x)=sin(x+θ)+cos(x-θ)是偶函數(shù)，0<θ<π，求θ。

解法一：由偶函數(shù)的定義，可得(cosθ+sinθ)sinx=0對任意x∈R成立。

∴cosθ+sinθ=0，2 sin(θ+)=0，

∴θ+=kπ，而0<θ<π，∴θ=。

解法二：由f(-)=f()，得θ=，然后驗(yàn)證f(x)是偶函數(shù)。

【例7】方程sinx+cosx+a=0在（0，2π）內(nèi)有相異兩根α、β，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，以及α+β的值。

解：∵sinx+cosx+a=0，∴sin (x+)= -。

令t= x+，則t∈(，)，sint= -。

作出函數(shù)y= sint，t∈(,)的圖象：

由圖象可以看出：當(dāng)-1< -<1且-≠即-2<a<-或-<a<2時，sint= -有相異兩根t₁、t₂，原方程有相異兩根α、β，并且

當(dāng)-2<a<-時，t₁+t₂=(α+)+(β+)=π，α+β=；

當(dāng)-<a<2時，t₁+t₂=(α+)+(β+)=3π，α+β=。

【例8】已知sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0，求s=tg(x+y+z)+tgxtgytgz的值。

解：由已知得，

(1)²+(2)²得cos(x-y)= -，

同理，cos(y-z)= -，cos(z-x)= -。

∴x，y，z中任意兩角的終邊夾角為，不妨設(shè)

x=y++2mπ,m∈Z，y=z++2nπ,n∈Z，

∴x= z++2(m+n)π，

x+y+z= 3z+2(m+2n+1)π，

∴s=tg(x+y+z)+tgxtgytgz

= tg3z+tg(z+)tg(z+)tgz

= tg3z+tg(z+)tg(z-)tgz

= tg3z+ tgz tg(+z)tg(-z)

=0。

【說明】如能熟練運(yùn)用下列公式，可對解題帶來很大方便：

sinαsin(+α)sin(-α)=sin3α，

cosαcos(+α)cos(-α)= cos3α，

tgαtg(+α)tg(-α)=tg3α。

如sin10°sin50°sin70°=sin(3×10°)= 。