A5－011  自然數n的數字和用S（n）來表示．

（1）是否存在一個自然數n，使得n＋s（n）=1980；

（2）證明：在任意兩個連續的自然數之中，至少有一個能表示成n＋S（n）的形式，其中n為某個自然數．

【題說】第十四屆（1980年）全蘇數學奧林匹克八年級題6．

【解】（1）當n=1962時，n＋S（n）=1980．

（2）令S_n=n＋S（n），如果n的末位數字是9，則S_n+1＜S_n；否則S_n+1=S_n＋2．對任意兩個連續的自然數m（m≥2），m＋1，在S_n＜m的n中，選擇最大的，并用N表示．這時S_N+1≥m＞S_N，所以N的末位數字不是9，從而S_N+1=S_N+2．由m≤S_N+1=S_N+2＜m＋2，即得S_N+1=m或S_N+1=m＋1．

A5－012  設n為≥2的自然數．證明方程xⁿ＋1=yⁿ⁺¹在x與n＋1互質時無正整數解．

【題說】1980年芬蘭等四國國際數學競賽題3．本題由匈牙利提供．

【證】xⁿ=yⁿ⁺¹－1=（y－1）（yⁿ＋y^n-1＋…＋1）．如果質數p是y－1與yⁿ＋y^n-1＋…＋1的公因數，則p整除xⁿ，從而p是x的因數．但y除以p余1，所以yⁿ＋y^n-1＋…＋1除以p與n＋1除以p的余數相同，即n＋1也被p整除，這與x、n＋1互質矛盾．因此y－1與yⁿ＋y^n-1＋…＋1互質，從而y－1=sⁿ，yⁿ＋y^n-1＋…＋1=tⁿ，其中s、t為自然數，st=x．但yⁿ＜yⁿ＋y^n-1＋…＋1＜（y＋1）ⁿ，所以yⁿ＋y^n-1＋…＋1≠tⁿ，矛盾，原方程無解．

A5－013  設a、b、c是兩兩互素的正整數，證明：2abc－be－ac－ab是不能表示為xbc＋yac＋zab形式的最大整數（其中x、y、z是非負整數）．

【題說】第二十四屆（1983年）國際數學奧林匹克題3．

【證】熟知在a、b互素時，對任意整數n有整數x、y，使ax＋by=n．當n＞ab－a－b時，首先取0≤x＜b（若x＞b則用x－b、y＋a代替x、y），我們有

by=n－ax＞ab－a－b－ax≥ab－a－b－a（b－1）=－b

所以y＞－1也是非負整數．即n＞ab－a－b時，有非負整數x、y使ax＋by=n．

因為a、b、c兩兩互素，所以（bc，ac<FONT style="