德國有名的數(shù)學(xué)家希爾伯特（D．Hibert 1862—1943）在老年時曾被人問一個有趣的問題：“假定你去世后一兩年能復(fù)活，您會做什么呢？”

希爾伯特回答：“我會先問黎曼猜想是否已經(jīng)獲得解決了？”原來他在1900年把這問題列為20世紀(jì)數(shù)學(xué)家所面對的一個重要難題，如果他死能復(fù)活，當(dāng)然關(guān)心的是這個問題是否解決了。

黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann 1826—1866）是生在現(xiàn)在德國漢諾瓦（Hannover）一個小鄉(xiāng)村（當(dāng)時那地區(qū)屬于大英帝國）的清教徒家庭，他父親是當(dāng)?shù)氐哪翈煛?/font>

5歲時他喜歡歷史，對于古代戰(zhàn)爭有興趣，并且同情波蘭人被外國統(tǒng)治的命運。過不久，他被數(shù)學(xué)所吸引，他自己也能出一些數(shù)學(xué)問題給他的姐妹弟弟做（全家6個孩子，他排行第二。）

在學(xué)校讀書時，他需要用德文和拉丁文寫作文，可是他下筆很慢，常要涂改。可是他在數(shù)學(xué)方面卻是出色的，在他去世之后他的中學(xué)數(shù)學(xué)老師薩馬福斯（Schmalfuss）回憶他在16歲時向他借書的故事：“他來向我借數(shù)學(xué)書看，并且很謙虛的說：‘我希望有一本并不太容易的書。’我指我書架上的書，他選了法國數(shù)學(xué)家勒讓德（Legendre）的《數(shù)論》，我對他說：‘試試看你能懂多少里面的東西。’這是星期五的下午，就在下個星期四他把書帶回來。我問‘你讀了多少？’他回答：‘這本書是寫得非常奇妙，我已全部懂了。’這之后他就沒再看這書，以后在畢業(yè)考試時我拿勒灌德那本書里一些問題來考他，他回答得非常好，好像是他專門讀那本書來準(zhǔn)備考試那樣子、數(shù)論是對他有特別的吸引力。這之后他讀了勒讓德寫的幾何書，并從我的圖書室里的幾何書上選了許多問題來做。在中學(xué)時他已顯示出是一個數(shù)學(xué)家了。他具有強的直觀能力以及抽象推廣的能力。”

在19歲時，他進入哥庭根大學(xué)讀哲學(xué)和神學(xué)，他的父親是希望他以后能成為一個傳教的牧師，可是他卻對數(shù)學(xué)非常有興趣，不但上了數(shù)學(xué)方程數(shù)值解的課及地磁學(xué)，且從1846—1847年上了德國大數(shù)學(xué)家高斯（Gauss）的最小二乘法及史登恩（Stern）的定積分的課。

1847年他轉(zhuǎn)學(xué)到柏林大學(xué)去，在那里有三位著名的教授：賈可比（Jacobi）、狄利克雷（Lejeune Dirichlet）及史泰勒（Steiner），他在兩年中學(xué)習(xí)理論力學(xué)，高等代數(shù)，數(shù)論，積分論和偏微方程及橢圓方程。

在他回哥庭根準(zhǔn)備寫博士論文時，為了減輕父親經(jīng)濟負(fù)擔(dān)，他參加由高斯的朋友韋伯（Weber）等主持的數(shù)學(xué)物理研討會并當(dāng)韋伯的助手做一些物理實驗及給一些初學(xué)物理的人講演。這些事使他花掉了一些時間，影響了他提早提出論文的，到了1851年11月，他呈上了《復(fù)變函數(shù)論的一般理論的基礎(chǔ)》。高斯對這論文評價極高，說許多年來他就想寫一份像這樣的論文。

黎曼在這時寫信給他父親說：“呈上了這份完整的論文我希望能改善我的前途，我也希望在寫這論文過程能訓(xùn)練我，使到我以后進入社會可以寫的更流利和迅速。我現(xiàn)在是感到很愉快。”

1854年，黎曼成為哥庭根大學(xué)講師，三年后他成為助理教授，在1859年成為正式教授。可惜在1862年他患上肺病，必須常去意大利休養(yǎng)。而他在1866年時就死于意大利，年紀(jì)只不過

德國數(shù)學(xué)家克萊因（Klein）這樣的評價他：“黎曼具有很強的直觀，由這天份他超越了當(dāng)代的數(shù)學(xué)家，在他的興趣被激發(fā)的領(lǐng)域，他不管是否當(dāng)局會接受對這研究的肯定，也不讓傳統(tǒng)來誤導(dǎo)他。……他像流星一樣出現(xiàn)然后消失，他活躍的時間只不過15年，1851年他完成論文，1862年他生病，1866年他去世。……黎曼的思想，對現(xiàn)代函數(shù)論發(fā)展的影響是緩慢和逐漸的，他的工作不會在當(dāng)代引起突然的革命。這主要是由于黎曼的工作是不容易明白，另外是他提出的想法是非常新且奇特的。……”

黎曼猜想

現(xiàn)在來講他在1858年寫的一篇只長8頁關(guān)于素數(shù)分布的論文，就在這論文里他提出了有名的黎曼猜想（Riemanns Hypoth-esis）。這猜想提出已有一百多年了，許多有名的數(shù)學(xué)家曾嘗試去證明，就像喜歡爬山的人希望能爬上珠穆朗瑪峰一樣——因為它的頂峰非常困難到達，目前已有人登上這世界高峰，可是卻沒有人能證明這猜想！

要說明這猜想首先需談?wù)勥@問題的來源。幾千年前人類就已知道2，3，5，7，31，59，97這些正整數(shù)。除了1及本身之外就沒有其他因子，他們稱這些數(shù)為素數(shù)（或質(zhì)數(shù)Prime number），希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德證明了在正整數(shù)集合里有無窮多的素數(shù)，他是用反證法證明、（讀者可以參看拙著：《數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)家的故事》第一集里這個證明。）

著名的原籍瑞士的數(shù)學(xué)家歐拉（Euler 1707—1783），在1737年給了歐幾里得定理的另外一個巧妙的證明。

人們早知道下面的調(diào)和級數(shù)是不收斂（即和是無窮大）。

在1737年左右歐拉引進了齊打函數(shù)（Zeta function）

如果令P表示所有的素數(shù)集合，即歐拉發(fā)現(xiàn)對于S≥1，我們有

我們看到右邊如果展開，每一項是形如

的形狀，這里p₁，p₂，…，p_r都是素數(shù)。

由算術(shù)的基本原理，我們知道，任何正整數(shù)是能表示成素數(shù)方的乘積，而這表示法是只有一種。

如果素數(shù)的個數(shù)是有限，則當(dāng)s逐漸趨近于1時，我們見到

由此可知素數(shù)的個數(shù)不可能是有限的。

在1858年黎曼在他寫的唯一一篇關(guān)于數(shù)論的文章里把齊打函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)域上，他要研究什么樣的復(fù)數(shù)s，能使ζ（s）=0，他在文章里給出了下面著名的猜想：“所有的非實數(shù)的復(fù)數(shù)s使得ζ（s）

哈地及黎曼猜測

英國著名的數(shù)學(xué)家哈地（G．H．Hardy 1877—1947）是華羅庚在英國劍橋大學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)論時的指導(dǎo)教授。

英國自從出現(xiàn)牛頓以后，一向來數(shù)學(xué)工作者是注重應(yīng)用數(shù)學(xué)，它的數(shù)學(xué)家不像歐陸的德國和法國在純粹數(shù)學(xué)上有大的貢獻和新的發(fā)現(xiàn)，至到19世紀(jì)末出了哈地之后，哈地以他在純數(shù)學(xué)的工作使英國聞名于世。

哈地先后在牛津和劍橋大學(xué)教書，他為了研究數(shù)學(xué)從來不想到成家，而是由妹妹照顧他。他個性是有些怪，在那宗教勢力濃厚的學(xué)府里敢公然說：“上帝是我的敵人。”他從不踏進教堂，也不參予有宗教色彩儀式的會議。

哈地是一個“板球（Cricket）迷”，每年夏天要等到板球季節(jié)過了，才會跑到歐陸度假，拜訪他的幾個好朋友與他們一起討論研究數(shù)學(xué)。

每次到丹麥就會見他的好朋友波爾（Harald Bohr），他們坐下來，先在一張紙上寫上先要解決和討論的一些議程，然后討論一個小時后才一起出去散步。每一次見面時哈地在議程的第一條往往寫上：“證明黎曼假設(shè)！”

可是這個提議卻一直沒法子解決，一直到夏假結(jié)束他必須回去英國教書才作罷。第二年的夏天他回來丹麥又像前一年那樣，兩人每天把解決黎曼假設(shè)擺在議程的最前面，但是每次都不能解決。

有一年的夏末，哈地要乘船渡北海回英國，那天浪濤洶涌天氣很惡劣，而船又很小，因此他在船開之前就寫了一張明信片寄給波爾，在上面簡單的寫下這幾個字：“我已經(jīng)證明了黎曼假設(shè)。哈地。”

他是否真的證明了，要把這個好消息告訴他的好友呢？原來這明信片是有用意的：萬一這船沉下去，哈地溺死了，世人就會認(rèn)為哈地真的解決這個世界上的數(shù)學(xué)難題，而為這個解法及哈地一起埋在海底而惋惜。但是上帝既然是哈地的仇人，一定不會讓哈地享有解決這個著名難題的聲譽，因此本來這船該沉下去，它也設(shè)法不讓它沉，于是哈地可以平安回到英國。這樣這個明信片就是他的救命護身符了。

你看了或許會笑，以為我們的哈地教授是這樣幼稚可笑的人物，是的，有一些數(shù)學(xué)家他們想法和做事的天真幼稚就像6歲的兒童。可是他們研究的東西卻深入和奧妙，不是普通人所能了解的。哈地逝世距現(xiàn)在已四十多年，但是他遺留下來的工作，許多是那么的艱深和難于明白，普通大學(xué)數(shù)學(xué)系畢業(yè)生也不是很容易就能領(lǐng)會。

這結(jié)果是非常的漂亮。

貧病而逝的英才

中國的古人曾說“人窮而工其文”，我們的黎曼也可以印證這句話的正確性。

在一百多年前的德國大學(xué)，只有正式的教授才領(lǐng)政府的津貼，及開正規(guī)的課程，由此可以收學(xué)生交的學(xué)費。黎曼在1854年成為哥庭根大學(xué)的講師（Privatdozent），他可以開課，可是學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的不太多，而且他得不到政府的任何津貼，因此他的生活是很貧苦的。他的父親是清貧的小鄉(xiāng)村牧師也不可能對他經(jīng)濟上有什么幫助，盡管他常因貧窮而生病，可是他仍頑強的在數(shù)學(xué)上鉆研，不因健康和經(jīng)濟而動搖對研究的愛好。

1855年他的老師高斯去世了，由狄利克雷繼承高斯的教職。狄利克雷很重視黎曼的工作，極力向政府爭取給予黎曼一些津貼，最后總算得到了等于正式教授的薪水津貼的十分之一。這對黎曼的生活稍有改善。

這段期間黎曼在復(fù)變函數(shù)論上作出許多重要的發(fā)現(xiàn)，1859年對他頗照顧的狄利克雷去世，他的職位由黎曼繼承。這時他的經(jīng)濟稍微好些，但身體卻因長期營養(yǎng)不良及工作勞累健康是損壞了。

在1862年他和一個朋友的妹妹結(jié)婚，第二年生下一個女兒，可是肺病卻蠶食他的生命，在1866年7月20日在意大利Mag-giore湖畔的Selasca去世。在他死之前他還很樂觀勇敢的工作。

現(xiàn)在在大學(xué)課程的復(fù)變函數(shù)論的基本定理，分析學(xué)上的黎曼積分！黎曼曲面的概念都是他重要的發(fā)現(xiàn)。他本身對物理學(xué)也很有興趣，曾寫了一些關(guān)于熱、電、磁和流體力學(xué)的論文。

他對數(shù)學(xué)的影響是無可估量的。讀者如果想對他的工作有一點認(rèn)識可以看1953年Dover Publications出版的《黎曼選集》（The Collected Works of Bernhard Riemann）

近年對黎曼假設(shè)的研究

荷蘭三位數(shù)學(xué)家J．van de Lune，H．J．Riele te及D．T．Winter利用電子計算機來檢驗黎曼的假設(shè)，他們對最初的二億個齊打函數(shù)的零點檢驗，證明黎曼的假設(shè)是對的，他們在1981年宣布他們的結(jié)果，目前他們還繼續(xù)用電子計算機檢驗底下的一些零點。

在1982年11月蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家馬帝葉雪維奇在蘇聯(lián)雜志《Kibernetika》宣布，他利用電腦檢驗一個與黎曼猜想有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，可以證明該問題是正確的，從而反過來可以支持黎曼的猜想很可能是正確的。

1974年美國麻省理工學(xué)院的萊文森在他患癌癥去世前證明了這樣的

在190年中國數(shù)學(xué)家樓世拓、姚琦對萊文森的工作有一點改進，他們證明了No（T）＞0.35N（T）。