（一）--整數(shù)的誕生

　　公共汽車上，有一位年輕的媽媽抱著她的小寶寶坐在車窗邊，她正在教她的小寶寶數(shù)數(shù)呢。她伸出一個(gè)手指問：“這是幾呀？”正在咿呀學(xué)語(yǔ)的小孩望了望媽媽，答道：“一”。媽媽伸出了兩個(gè)手指問：“這是幾呀？”小孩想了想答道：“二”。媽媽又伸出三個(gè)手指，小孩猶豫了好一陣，回答：“三。”再伸四個(gè)手指時(shí)，小孩答不出來(lái)了。在這個(gè)小孩看來(lái)，那些手指實(shí)在太多了，他已經(jīng)數(shù)不清了。其實(shí)，能數(shù)到三，對(duì)一個(gè)黃口孺子來(lái)說(shuō)，已經(jīng)很不簡(jiǎn)單了。

　　要知道，學(xué)會(huì)數(shù)數(shù)，那可是人類經(jīng)過成千上萬(wàn)年的奮斗才得到的結(jié)果。如果我們穿過“時(shí)間隧道”來(lái)到二、三百萬(wàn)年前的遠(yuǎn)古時(shí)代，和我們的祖先--類人猿在一起，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)他們根本不識(shí)數(shù)，他們對(duì)事物只有“有”與“無(wú)”這兩個(gè)數(shù)學(xué)概念。類人猿隨著直立行走使手腳分工，通過勞動(dòng)逐步學(xué)會(huì)使用工具與制造工具，并產(chǎn)生了簡(jiǎn)單的語(yǔ)言，這些活動(dòng)使類人猿的大腦日趨發(fā)達(dá)，最后完成了由猿向人的演化。這時(shí)的原始人雖沒有明確的數(shù)的概念，但已由“有”與“無(wú)”的概念進(jìn)化到“多”與“少”的概念了。“多少”比“有無(wú)”要精確。這種概念精確化的過程最后就導(dǎo)致“數(shù)”的產(chǎn)生。

　　上古的人類還沒有文字，他們用的是結(jié)繩記事的辦法（《周易》中就有“上古結(jié)繩而治，后世圣人，易之以書契”的記載）。遇事在草繩上打一個(gè)結(jié)，一個(gè)結(jié)就表示一件事，大事大結(jié)，小事小結(jié)。這種用結(jié)表事的方法就成了“符號(hào)”的先導(dǎo)。長(zhǎng)輩拿著這根繩子就可以告訴后輩某個(gè)結(jié)表示某件事。這樣代代相傳，所以一根打了許多結(jié)的繩子就成了一本歷史教材。本世紀(jì)初，居住在琉球群島的土著人還保留著結(jié)繩記事的方法。而我國(guó)西南的一個(gè)少數(shù)民族，也還在用類似的方法記事，他們的首領(lǐng)有一根木棍，上面刻著的道道就是用于記事的。

　　又經(jīng)過了很長(zhǎng)的時(shí)間，原始人終于從一頭野豬，一只老虎，一把石斧，一個(gè)人，……這些不同的具體事物中抽象出一個(gè)共同的數(shù)字--“1”。數(shù)“1”的出現(xiàn)對(duì)人類來(lái)說(shuō)是一次大的飛躍。人類就是從這個(gè)“1”開始，又經(jīng)過很長(zhǎng)一段時(shí)間的努力，逐步地?cái)?shù)出了“2”、“3”……，對(duì)于原始人來(lái)說(shuō)，每數(shù)出一個(gè)數(shù)（實(shí)際上就是每增加一個(gè)專用符號(hào)或語(yǔ)言）都不是簡(jiǎn)單的事。直到本世紀(jì)初，人們還在原始森林中發(fā)現(xiàn)一些部落，他們數(shù)數(shù)的本領(lǐng)還很低。例如在一個(gè)馬來(lái)人的部落里，如果你去問一個(gè)老頭的年齡，他只會(huì)告訴你：“我8歲”。這是怎么回事呢？因?yàn)樗麄冞�不會(huì)數(shù)超過“8”的數(shù)。對(duì)他們來(lái)說(shuō)，“8”就表示“很多”。有時(shí)，他們實(shí)在無(wú)法說(shuō)清自己的年齡，就只好指著門口的棕櫚樹告訴你：“我跟它一樣大。”

　　1，2，3，4，……，10，11，12，……

　　可能由于古人覺得，打了一只野兔又吃掉，野兔已經(jīng)沒有了，“沒有”是不需要用數(shù)來(lái)表示的。所以數(shù)“0”出現(xiàn)得很遲。換句話說(shuō)，零不是自然數(shù)。

　　后來(lái)由于實(shí)際需要又出現(xiàn)了負(fù)數(shù)。我國(guó)是最早使用負(fù)數(shù)的國(guó)家。西漢（公元前二世紀(jì)）時(shí)期，我國(guó)就開始使用負(fù)數(shù)。《九章算術(shù)》中已經(jīng)給出正負(fù)數(shù)運(yùn)算法則。人們?cè)谟?jì)算時(shí)就用兩種顏色的算籌分別表示正數(shù)和負(fù)數(shù)，而用空位表示“0”，只是沒有專門給出0的符號(hào)。“0”這個(gè)符號(hào)，最早在公元五世紀(jì)由印度人阿爾耶婆哈答使用。

　　讓我們?cè)俅┻^“時(shí)間隧道”回到幾萬(wàn)年前吧，一群原始人正在向一群野獸發(fā)動(dòng)大規(guī)模的圍獵。只見石制箭鏃與石制投槍呼嘯著在林中掠過，石斧上下翻飛，被擊中的野獸在哀嚎，尚未倒下的野獸則狼奔豕突，拼命奔逃。這場(chǎng)戰(zhàn)斗一直延續(xù)到黃昏。晚上，原始人在他們棲身的石洞前點(diǎn)燃了篝火，他們圍著篝火一面唱一面跳，歡慶著勝利，同時(shí)把白天捕殺的野獸抬到火堆邊點(diǎn)數(shù)。他們是怎么點(diǎn)數(shù)的呢？就用他們的“隨身計(jì)數(shù)器”吧。一個(gè)，二個(gè)，……，每個(gè)野獸對(duì)應(yīng)著一根手指。等到十個(gè)手指用完，怎么辦呢？先把數(shù)過的十個(gè)放成一堆，拿一根繩，在繩上打一個(gè)結(jié)，表示“手指這么多野獸”（即十只野獸）。再?gòu)念^數(shù)起，又?jǐn)?shù)了十只野獸，堆成了第二堆，再在繩上打個(gè)結(jié)。這天，他們的收獲太豐盛了，一個(gè)結(jié)，二個(gè)結(jié)，……，很快就數(shù)到手指一樣多的結(jié)了。于是換第二根繩繼續(xù)數(shù)下去。假定第二根繩上打了3個(gè)結(jié)后，野獸只剩下6只。那么，這天他們一共獵獲了多少野獸呢？ 1根繩又3個(gè)結(jié)又6只，用今天的話來(lái)說(shuō)，就是

　　1根繩=10個(gè)結(jié)，1個(gè)結(jié)=10只。

　　所以1根繩3個(gè)結(jié)又6只=136只。

　　你看，“逢十進(jìn)一”的十進(jìn)制就是這樣得到的。現(xiàn)在世界上幾乎所有的民族都采用了十進(jìn)制，這恐怕跟人有十根手指密切相關(guān)。當(dāng)然，過去有許多民族也曾用過別的進(jìn)位制，比如瑪雅人用的是二十進(jìn)制。我想，大家一定很清楚這是什么原因：他們是連腳趾都用上了。我國(guó)古時(shí)候還有五進(jìn)制，你看算盤上的一個(gè)上珠就等于五個(gè)下珠。而巴比侖人則用過六十進(jìn)制，現(xiàn)在的時(shí)間進(jìn)位，還有角度的進(jìn)位就用的六十進(jìn)制，換算起來(lái)就不太方便。英國(guó)人則用的是十二進(jìn)制（1英尺=12英寸，l籮=12打，1打=12個(gè)）。

　　我們?cè)僮匪莸轿迩У桨饲�年前看一看，這時(shí)，四大文明古國(guó)都早已從母系社會(huì)過渡到父系社會(huì)了，生產(chǎn)力的發(fā)展導(dǎo)致國(guó)家雛形的產(chǎn)生，生產(chǎn)規(guī)模的擴(kuò)大則刺激了人們對(duì)大數(shù)的需要。比如某個(gè)原始國(guó)家組織了一支部隊(duì)，國(guó)王陛下總不能老是說(shuō)：“我的這支戰(zhàn)無(wú)不勝的部隊(duì)共計(jì)有9名士兵！”于是，慢慢地就出現(xiàn)了“十”、“百”、“千”、“萬(wàn)”這些符號(hào)。在我國(guó)商代的甲骨文上就有“八日辛亥允戈伐二千六百五十六人”的刻文。即在八日辛亥那天消滅敵人共計(jì)2656人。在商周的青銅器上也刻有一些大的數(shù)字。以后又出現(xiàn)了“億”、“兆”這樣的大數(shù)單位。

　　而在古羅馬，最大的記數(shù)單位只有“千”。他們用M表示一千。“三千”則寫成“MMM”。“一萬(wàn)”就得寫成“MMMMMM－MMMM”。真不敢想象，如果他們需要記一千萬(wàn)時(shí)怎么辦，難道要寫上一萬(wàn)個(gè)M不成？

　　然而，古希臘有一位偉大的學(xué)者，他卻數(shù)清了“充滿宇宙的沙子數(shù)”，那就是阿基米德。他寫了一篇論文，叫做《計(jì)沙法》，在這篇文章中，他提出的記數(shù)方法，同現(xiàn)代數(shù)學(xué)中表示大數(shù)的方法很類似。他從古希臘的最大數(shù)字單位“萬(wàn)”開始，引進(jìn)新數(shù)“萬(wàn)萬(wàn)（億）”作為第二階單位，然后是“億億”（第三階單位），“億億億”（第四階單位），等等，每階單位都是它前一階單位的1億倍。

　　阿基米德的同時(shí)代人、天文學(xué)家阿里斯塔克斯曾求出地球到天球面距離10，000，000，000斯塔迪姆（1斯塔迪姆=188米），這個(gè)距離當(dāng)然比現(xiàn)在我們所認(rèn)識(shí)的宇宙要小得多，這才僅僅是太陽(yáng)到土星的距離。阿基米德假定這個(gè)“宇宙”里充滿了沙子。然后開始計(jì)算這些沙子的數(shù)目。最后他寫道：

　　“顯然，在阿里斯塔克斯計(jì)算出的天球里所能裝入的沙子的粒數(shù)，不會(huì)超過一千萬(wàn)個(gè)第八階單位。”如果要把這個(gè)沙子的數(shù)目寫出來(lái)，就是10，000，000×（100，000，000）⁷或者就得在1后邊寫上63個(gè)0：1，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000。這個(gè)數(shù)，我們現(xiàn)在可以把它寫得簡(jiǎn)單一些：即寫成1×10⁶³。而這種簡(jiǎn)單的寫法，據(jù)說(shuō)是印度某個(gè)不知名的數(shù)學(xué)家發(fā)明的。

　　現(xiàn)在，我們還可更進(jìn)一步把這種方法推廣到記任何數(shù)，例如：32，000，000就可記為3．2×10⁷，而0．0000032則可記為3．2×10^-6。這種用在1與10間的一個(gè)數(shù)乘以10的若干次冪的記數(shù)方法就是“科學(xué)記數(shù)法”。這種記數(shù)法既方便，又準(zhǔn)確，又簡(jiǎn)潔，還便于進(jìn)行計(jì)算，所以得到了廣泛的使用。