第五單元、百分數

一、百分數的意義：表示一個數是另一個數的百分之幾。

注：百分數是專門用來表示一種特殊的倍比關系的，表示兩個數的比，所以，百分數又叫百分比或百分率，百分數不能帶單位。

1、百分數和分數的區別和聯系：

(1)聯系：都可以用來表示兩個量的倍比關系。

(2)區別：意義不同：百分數只表示倍比關系，不表示具體數量，所以不能帶單位。分數不僅表示倍比關系，還能帶單位表示具體數量。

百分數的分子可以是小數，分數的分子只以是整數。

注：百分數在生活中應用廣泛，所涉及問題基本和分數問題相同，分母是100的分數并不是百分數，必須把分母寫成“%”才是百分數，所以“分母是100的分數就是百分數”這句話是錯誤的。“%”的兩個0要小寫，不要與百分數前面的數混淆。一般來講，出勤率、成活率、合格率、正確率能達到100%，出米率、出油率達不到100%，完成率、增長了百分之幾等可以超過100%。一般出粉率在70、80%，出油率在30、40%。

2、小數、分數、百分數之間的互化

(1)百分數化小數：小數點向左移動兩位，去掉“%”。

(2)小數化百分數：小數點向右移動兩位，添上“%”。

(3)百分數化分數：先把百分數寫成分母是100的分數，然后再化簡成最簡分數。

(4)分數化百分數：分子除以分母得到小數，(除不盡的保留三位小數)然后化成百分數。

(5)小數 化 分數：把小數成分母是10、100、1000等的分數再化簡。

(6)分數 化 小數：分子除以分母。

二、百分數應用題

1、 求常見的百分率 如：達標率、及格率、成活率、發芽率、出勤率等求百分率就是求一個數是另一個數的百分之幾

2、 求一個數比另一個數多(或少)百分之幾，實際生活中，人們常用增加了百分之幾、減少了百分之幾、節約了百分之幾等來表示增加、或減少的幅度。

求甲比乙多百分之幾 (甲-乙)÷乙

求乙比甲少百分之幾 (甲-乙)÷甲

3、 求一個數的百分之幾是多少 一個數(單位“1”) ×百分率

4、 已知一個數的百分之幾是多少，求這個數 部分量÷百分率=一個數(單位“1”)

5、 折扣 折扣、打折的意義：幾折就是十分之幾也就是百分之幾十

折扣 成數 幾分之幾 百分之幾 小數 通用

八折 八成 十分之八 百分之八十 0.8

八五折 八成五 十分之八點五 百分之八十五 0.85

五折 五成 十分之五 百分之五十 0.5 半價

6、 納稅 繳納的稅款叫做應納稅額。

(應納稅額)÷(總收入)=(稅率)

(應納稅額)=(總收入)×(稅率)

7、 利率

(1)存入銀行的錢叫做本金。

(2)取款時銀行多支付的錢叫做利息。

(3)利息與本金的比值叫做利率。

利息=本金×利率×時間

稅后利息=利息-利息的應納稅額=利息-利息×5%

注：國債和教育儲蓄的利息不納稅

8、百分數應用題型分類

(1)求甲是乙的百分之幾——(甲÷乙)×100% = ×100% = 百分之幾

(2)求甲比乙多(少)百分之幾—— ×100% = ×100%

例

① 甲是50，乙是40，甲是乙的百分之幾?(50是40的百分之幾?)50÷40=125%

② 甲是50，乙是40，乙是甲的百分之幾?(40是50的百分之幾?)40÷50=80%

③ 乙是40，甲是乙的125%，甲數是多少?(40的125%是多少?)40×125%=50

④ 甲是50，乙是甲的80%，乙數是多少?(50的80%是多少?)50×80%=40

⑤ 乙是40，乙是甲的80%，甲數是多少?(一個數的80%是40，這個數是多少?)40÷80%=50

⑥ 甲是50，甲是乙的125%，乙數是多少?(一個數的125%是50，這個數是多少?)50÷125%=40

⑦ 甲是50，乙是40，甲比乙多百分之幾?(50比40多百分之幾?)(50-40)÷40×100%=25%

⑧ 甲是50，乙是40，乙比甲少百分之幾?(40比50少百分之幾?)(50-40)÷50×100%=20%

⑨ 甲比乙多25%，多10，乙是多少?10÷25%=40

⑩ 甲比乙多25%，多10，甲是多少?10÷25%+10=50

? 乙比甲少20%，少10，甲是多少?10÷20%=50

? 乙比甲少20%，少10，乙是多少?10÷20%-10=40

? 乙是40，甲比乙多25%，甲數是多少?(什么數比40多25%?)40×(1+25%)=50

? 甲是50，乙比甲少20%，乙數是多少?(什么數比50多25%?)50×(1-20%)=40

? 乙是40，比甲少20%，甲數是多少?(40比什么數少20%?)40÷(1-20%)=50

? 甲是50，比乙多25%，乙數是多少?(50比什么數多25%?)40÷(1+25%)=40

第六單元、統計

1、 扇形統計圖的意義：用整個圓的面積表示總數，用圓內各個扇形面積表示各部分數量同總數之間關系，也就是各部分數量占總數的百分比，因此也叫百分比圖。

2、 常用統計圖的優點：

(1)、條形統計圖直觀顯示每個數量的多少。

(2)、折線統計圖不僅直觀顯示數量的增減變化，還可清晰看出各個數量的多少。

(3)、扇形統計圖直觀顯示部分和總量的關系。

第七單元、數學廣角

一、研究中國古代的雞兔同籠問題。

1、 用表格方式解決有局限性，數目必須小，例：

頭數 雞(只)兔(只) 腿數

35 1 34

35 2 33

35 3 32

……

(逐一列表法、腿數少，小幅度跳躍;腿數多，大幅度跳躍。跳躍逐一相結合、取中列表)

2、 用假設法解決

(1) 假如都是兔

(2) 假如都是雞

(3) 假如它們各抬起一條腿

(4) 假如兔子抬起兩條前腿

3、 用代數方法解(一般規律)

注釋：這個問題，是我國古代著名趣題之一。大約在1500年前，《孫子算經》中就記載了這個有趣的問題。書中是這樣敘述的：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何?這四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數，有35個頭;從下面數，有94只腳。求籠中各有幾只雞和兔?

二、和尚分饅頭

100個和尚吃100個饅頭，大和尚一人吃3個，小和尚三人吃一個。大小和尚各多少人?

國明代珠算家程大位的名著《直指算法統宗》里有一道著名算題：

一百饅頭一百僧，

大僧三個更無爭，

小僧三人分一個，

大小和尚各幾丁?"

如果譯成白話文，其意思是：有100個和尚分100只饅頭，正好分完。如果大和尚一人分3只，小和尚3人分一只，試問大、小和尚各有幾人?

方法一，用方程解：

解：設大和尚有x人，則小和尚有(100-x)人，根據題意列得方程：

3x + (100-x)=100

x=25

100-25=75人

方法二，雞兔同籠法：

(1)假設100人全是大和尚，應吃饅頭多少個?

3×100=300(個).

(2)這樣多吃了幾個呢?

300-100=200(個).

(3)為什么多吃了200個呢?這是因為把小和尚當成大和尚。那么把小和尚當成大和尚時，每個小和尚多算了幾個饅頭?

3- = (個)

(4)每個小和尚多算了8/3個饅頭，一共多算了200個，所以小和尚有：

小和尚：200÷ =75(人)

大和尚：100-75=25(人)

方法三，分組法：

由于大和尚一人分3只饅頭，小和尚3人分一只饅頭。我們可以把3個小和尚與1個大和尚編為一組，這樣每組4個和尚剛好分4個饅頭，那么100個和尚總共分為100÷(3+1)=25組，因為每組有1個大和尚，所以有25個大和尚;又因為每組有3個小和尚，所以有25×3=75個小和尚。

這是《直指算法統宗》里的解法，原話是："置僧一百為實，以三一并得四為法除之，得大僧二十五個。"所謂"實"便是"被除數"，"法"便是"除數"。列式就是：

100÷(3+1)=25(組)

大和尚：25×1=25(人)

小和尚：100-25=75(人)或25×3=75(人)

我國古代勞動人民的智慧由此可見一斑。

三、整數、分數、百分數應用題結構類型

(一)求甲是乙的幾倍(或幾分之幾或百分之幾)的應用題。

解法：甲數除以乙數

例：校園里有楊樹40棵，柳樹有50棵，楊樹的棵樹占柳樹的百分之幾?(或幾分之幾?)

(二)求甲數的幾倍(或幾分之幾或百分之幾)是多少的應用題。

解答分數應用題，首先要確定單位“1”，在單位“1”確定以后，一個具體數量總與一個具體分數(分率)相對應，這種關系叫“量率對應”，這是解答分數應用題的關鍵。

求一個數的幾倍(幾分之幾或百分之幾)是多少用乘法，單位“1”×分率=對應數量

例：六年級有學生180人，五年級的學生人數是六年級人數的56 。五年級有學生多少人?

180×56 =150

(三)已知甲數的幾倍(或幾分之幾或百分之幾)是多少，求甲數(即求標準量或單位“1”)的應用題。

解法：對應數量÷對應分率=單位“1”

例：育紅小學六年級男生有120人，占參加興趣活動小組人數的35 . 六年級參加興趣活動小組人數共有學生多少人?

120÷35 =200(人)