例4 畢達哥拉斯還發現了四角形數，見下圖.因為用圓點按四角形數可以堆壘成正方形，因此它們最受

　　畢達哥拉斯及其弟子推崇.

　　第一個數：1=12=1

　　第二個數：4=22=1+3

　　第三個數：9=32=1+3+5

　　第四個數：16=42=1+3+5+7

　　第五個數：25=52=1+3+5+7+9

　　…

　　第n個數：n2=1+3+5+9+…+(2n-1).

　　四角形數(又叫正方形數)可以表示成自然數的平方，也可以表示成從1開始的幾個連續奇數之和.奇數的個數就等于正方形的一條邊上的點數.

　　例5 類似地，還有四面體數見下圖.

　　仔細觀察可發現，四面體的每一層的圓點個數都是三角形數.因此四面體數可由幾個三角形數相加得到：

　　第一個數：1

　　第二個數：4=1+3

　　第三個數：10=1+3+6

　　第四個數：20=1+3+6+10

　　第五個數：35=1+3+6+10+15.

　　例6 五面體數，見下圖.

　　仔細觀察可以發現，五面體的每一層的圓點個數都是四角形數，因此五面體數可由幾個四角形數相加得到：

　　第一個數：1=1

　　第二個數：5=1+4

　　第三個數：14=1+4+9

　　第四個數：30=1+4+9+16

　　第五個數：55=1+4+9+16+25.