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趣味奧數(shù)故事:三十六軍官問題

來源:石家莊奧數(shù)網(wǎng)整理 2012-02-15 10:48:24

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  大數(shù)學(xué)家歐拉曾提出一個(gè)問題:即從不同的6個(gè)軍團(tuán)各選6種不同軍階的6名軍官共36人,排成一個(gè)6行6列的方隊(duì),使得各行各列的6名軍官恰好來自不同的軍團(tuán)而且軍階各不相同,應(yīng)如何排這個(gè)方隊(duì)?如果用(1,1)表示來自第一個(gè)軍團(tuán)具有第一種軍階的軍官,用(1,2)表示來自第一個(gè)軍團(tuán)具有第二種軍階的軍官,用(6,6)表示來自第六個(gè)軍團(tuán)具有第六種軍階的軍官,則歐拉的問題就是如何將這36個(gè)數(shù)對(duì)排成方陣,使得每行每列的數(shù)無論從第一個(gè)數(shù)看還是從第二個(gè)數(shù)看,都恰好是由1、2、3、4、5、6組成。歷史上稱這個(gè)問題為三十六軍官問題。

  三十六軍官問題提出后,很長(zhǎng)一段時(shí)間沒有得到解決,直到20世紀(jì)初才被證明這樣的方隊(duì)是排不起來的。盡管很容易將三十六軍官問題中的軍團(tuán)數(shù)和軍階數(shù)推廣到一般的n的情況,而相應(yīng)的滿足條件的方隊(duì)被稱為n階歐拉方。歐拉曾猜測(cè):對(duì)任何非負(fù)整數(shù)t,n=4t+2階歐拉方都不存在。t=1時(shí),這就是三十六軍官問題,而t=2時(shí),n=10,數(shù)學(xué)家們構(gòu)造出了10階歐拉方,這說明歐拉猜想不對(duì)。但到1960年,數(shù)學(xué)家們徹底解決了這個(gè)問題,證明了n=4t+2(t≥2)階歐拉方都是存在的。

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