例4 從1開始，每隔兩個(gè)數(shù)寫出一個(gè)數(shù)，得到一列數(shù)，求這列數(shù)的第100個(gè)數(shù)是多少?
1，4，7，10，13，…
解：不難看出，這是一個(gè)等差數(shù)列，它的后一項(xiàng)都比相鄰的前一項(xiàng)大3，即公差=3，還可以發(fā)現(xiàn)：
第2項(xiàng)等于第1項(xiàng)加1個(gè)公差即
4=1+1×3.
第3項(xiàng)等于第1項(xiàng)加2個(gè)公差即
7=1+2×3.
第4項(xiàng)等于第1項(xiàng)加3個(gè)公差即
10=1+3×3.
第5項(xiàng)等于第1項(xiàng)加4個(gè)公差即
13=1+4×3.
…
可見第n項(xiàng)等于第1項(xiàng)加(n-1)個(gè)公差，即
按這個(gè)規(guī)律，可求出：
第100項(xiàng)=1+(100-1)×3=1+99×3=298.
例5 畫圖游戲先畫第一代，一個(gè)△，再畫第二代，在△下面畫出兩條線段，在一條線段的末端又畫一個(gè)△，在另一條的末端畫一個(gè)○;畫第三代，在第二代的△下面又畫出兩條線段，一條末端畫△，另一條末端畫○;而在第二代的○的下面畫一條線，線的末端再畫一個(gè)△;…一直照此畫下去(見下圖)，問第十次的△和○共有多少個(gè)?
解：按著畫圖規(guī)則繼續(xù)畫出幾代，以便于觀察，以期從中找出圖形的生成規(guī)律，見下圖.
數(shù)一數(shù)，各代的圖形(包括△和○)的個(gè)數(shù)列成下表：
可以發(fā)現(xiàn)各代圖形個(gè)數(shù)組成一個(gè)數(shù)列，這個(gè)數(shù)列的生成規(guī)律是，從第三項(xiàng)起每一項(xiàng)都是前面兩項(xiàng)之和.按此規(guī)律接著把數(shù)列寫下去，可得出第十代的△和○共有89個(gè)(見下表)：
這就是著名的裴波那契數(shù)列.裴波那契是意大利的數(shù)學(xué)家，他生活在距今大約七百多年以前的時(shí)代.
例6 如下圖所示，5個(gè)大小不等的中心有孔的圓盤，按大的在下、小的在上的次序套在木樁上構(gòu)成了一座圓盤塔.現(xiàn)在要把這座圓盤塔移到另一個(gè)木樁上.規(guī)定移動(dòng)時(shí)要遵守一個(gè)條件，每搬一次只許拿一個(gè)圓盤而且任何時(shí)候大圓盤都不能壓住小圓盤.假如還有第三個(gè)木樁可作臨時(shí)存放圓盤之用.問把這5個(gè)圓盤全部移到另一個(gè)木樁上至少需要搬動(dòng)多少次?(下圖所示)
解：先從最簡單情形試起.
①當(dāng)僅有一個(gè)圓盤時(shí)，顯然只需搬動(dòng)一次(見下頁圖).
②當(dāng)有兩個(gè)圓盤時(shí)，只需搬動(dòng)3次(見下圖).
③當(dāng)有三個(gè)圓盤時(shí)，需要搬動(dòng)7次(見下頁圖).
總結(jié)，找規(guī)律：
①當(dāng)僅有一個(gè)圓盤時(shí)，只需搬1次.
②當(dāng)有兩個(gè)圓盤，上面的小圓盤先要搬到臨時(shí)樁上，等大圓盤搬到中間樁后，小圓盤還得再搬回來到大圓盤上.所以小的要搬兩次，下面的大盤要搬1次.這樣搬到兩個(gè)圓盤需3次.
③當(dāng)有三個(gè)圓盤時(shí)，必須先要把上面的兩個(gè)小的圓盤搬到臨時(shí)樁上，見上圖中的(1)～(3).由前面可知，這需要搬動(dòng)3次.然后把最下層的最大圓盤搬一次到中間樁上，見圖(4)，之后再把上面的兩個(gè)搬到中間樁上，這又需搬3次，見圖中(5)～(7).
所以共搬動(dòng)2×3+1=7次.
④推論，當(dāng)有4個(gè)圓盤時(shí)，就需要先把上面的3個(gè)圓盤搬到臨時(shí)樁上，需要7次，然后把下面的大圓盤搬到中間樁上(1次)，之后再把臨時(shí)樁上的3個(gè)圓盤搬到中間樁上，這又需要7次，所以共需搬動(dòng)2×7+1=15次.
⑤可見當(dāng)有5個(gè)圓盤時(shí)，要把它按規(guī)定搬到中間樁上去共需要：
2×15+1=31次.
這樣也可以寫出一個(gè)一般的公式(叫遞推公式)
對(duì)于有更多圓盤的情況可由這個(gè)公式算出來.
進(jìn)一步進(jìn)行考察，并聯(lián)想到另一個(gè)數(shù)列：
若把n個(gè)圓盤搬動(dòng)的次數(shù)寫成an，把兩個(gè)表對(duì)照后，
可得出
有了這個(gè)公式后直接把圓盤數(shù)代入計(jì)算就行了，不必再像前一個(gè)公式那樣進(jìn)行遞推了.
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