六年級奧數(shù)余數(shù)練習題及解析
各種與余數(shù)有關的整數(shù)問題,其中包括求方冪的末位數(shù)字,計算具有規(guī)律的多位數(shù)除以小整數(shù)的余數(shù)，以及用逐步試算法找出滿足多個余數(shù)條件的最小數(shù)等.
例一.號碼分別為101,126,173,193的4個運動員進行乒乓球比賽,規(guī)定每兩人比賽的盤數(shù)是他們號碼的和被3除所得的余數(shù).那么打球盤數(shù)最多的運動員打了多少盤?
【分析與解】 因為兩個數(shù)和的余數(shù)同余與余數(shù)的和.
有101,126,173,193除以3的余數(shù)依次為2,0,2,1.則101號運動員與126,173,193號運動員依次進行了2,1,0盤比賽,共3盤比賽;126號運動員與101,173,193號運動員依次進行了2,2,l盤比賽,共5盤比賽;173號運動員與101,126,193號運動員依次進行了1,2,0盤比賽,共3盤比賽;193號運動員與101,126,173號運動員依次進行了0,1,0盤比賽,共1盤比賽.所以,打球盤數(shù)最多的運動是126號,打了5盤.
評注:兩個數(shù)和的余數(shù),同余與余數(shù)的和;兩個數(shù)差的余數(shù),同余與余數(shù)的差;兩個數(shù)積的余數(shù),同余與余數(shù)的積.
例五.將1,2,3，…,30從左往右依次排列成一個51位數(shù),這個數(shù)被11除的余數(shù)是多少?
【分析與解】 1,2,3,…,30這30個數(shù)從左往右依次排列成一個51位數(shù)為：123456…910…15…19202l…25…2930記個位為第l位,十位為第2位,那么：它的奇數(shù)位數(shù)字和為:0+9+8+7+6+…+l+9+8+7+6+…+1+9+7+5+3+l=115：它的偶數(shù)位數(shù)字和為:
;它的奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差為115—53：62.而62除以1l的余數(shù)為7.
所以將原來的那個51位數(shù)增大4所得到的數(shù)123456…910…15…192021…25…2934就是1l倍數(shù),則將123456…910…15…192021…25…2934減去4所得到數(shù)除以11的余數(shù)為7.即這個51位數(shù)除以11的余數(shù)是7.
評注:如果記個位為第1位,十位為第2位,那么一個數(shù)除以11的余數(shù)為其奇數(shù)位數(shù)字和A減去偶數(shù)位數(shù)字和B的差A-B=C,再用C除以1l所得的余數(shù)即是原來那個數(shù)的余數(shù).(如果減不開可將偶數(shù)位數(shù)字和B減去奇數(shù)位數(shù)字和A,求得B-A=C,再求出C除以1l的余數(shù)D,然后將11-D即為原來那個數(shù)除以11的余數(shù)).
如:123456的奇數(shù)位數(shù)字和為6+4+2=12,偶數(shù)位數(shù)字和為5+3+1=9,奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差為12-9=3,所以123456除以11的余數(shù)為3.
又如:654321的奇數(shù)位數(shù)字和為1+3+5=9,偶數(shù)位數(shù)字和為2+4+6=12,奇數(shù)位數(shù)字和減不開偶數(shù)位數(shù)字和,那么先將12-9=3,顯然3除以11的余數(shù)為3,然后再用11-3=8,這個8即為654321除以11的余數(shù).
