例10 有四個(gè)學(xué)生，他們的年齡恰好是一個(gè)比一個(gè)大1歲，而他們的年齡的乘積是5040，那么，他們的年齡各是多少？

　　解：我們先把5040分解質(zhì)因數(shù)

　　5040＝2⁴×3²×5×7.

　　再把這些質(zhì)因數(shù)湊成四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積：

　　2⁴×3²×5×7＝7×8×9×10.

　　所以，這四名學(xué)生的年齡分別是7歲、8歲、9歲和10歲.

　　利用合數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解式，不難求出該數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)（包括1和它本身）.為尋求一般方法，先看一個(gè)簡(jiǎn)單的例子.

　　我們知道24的約數(shù)有8個(gè)：1，2，3，4，6，8，12，24.對(duì)于較大的數(shù)，如果一個(gè)一個(gè)地去找它的約數(shù)，將是很麻煩的事.

　　因?yàn)?4＝2³×3，所以24的約數(shù)是2³的約數(shù)（1，2，2²，2³）與3的約數(shù)（1，3）之間的兩兩乘積.

　　1×1，1×3，2×1，2×3，2²×1，2²×3，2³×1，2³×3.

　　這里有4×2＝8個(gè)，即 （3＋1）×（1＋1）個(gè)，即對(duì)于24＝2³×3中的2³，有（3＋1）種選擇：1，2，2²，2³，對(duì)于3有（1＋1）種選擇.因此共有（3＋1）×（1＋1）種選擇.

　　這個(gè)方法，可以運(yùn)用到一般情形，例如，

　　144＝2⁴×3².

　　因此144的約數(shù)個(gè)數(shù)是（4＋1）×（2+1）＝15（個(gè)）.

　　例11 在100至150之間，找出約數(shù)個(gè)數(shù)是8的所有整數(shù).

　　解：有8＝7＋1； 8＝（3＋1）×（1＋1）兩種情況.

　　（1）2⁷＝128，符合要求，

　　3⁷＞150，所以不再有其他7次方的數(shù)符合要求.

　　（2）2³＝8，

　　8×13＝104， 8×17＝136，符合要求.

　　3³＝27；

　　只有27×5＝135符合要求.

　　5³＝135，它乘以任何質(zhì)數(shù)都大于150，因此共有4個(gè)數(shù)合要求：128，104，135，136.

　　利用質(zhì)因數(shù)的分解可以求出若干個(gè)整數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù).先把它們各自進(jìn)行質(zhì)因數(shù)分解，例如

　　720＝2⁴×3²×5，168＝2³×3×7.

　　那么每個(gè)公共質(zhì)因數(shù)的最低指數(shù)次方的乘積就是最大公約數(shù)，上面兩個(gè)整數(shù)都含有質(zhì)因數(shù)2，較低指數(shù)次方是2³，類似地都含有3，因此720與168的最大公約數(shù)是

　　2³×3＝ 24.

　　在求最小公倍數(shù)時(shí)，很明顯每個(gè)質(zhì)因數(shù)的最高指數(shù)次方的乘積是最小公倍數(shù).請(qǐng)注意720中有5，而168中無(wú)5，可以認(rèn)為較高指數(shù)次方是51=5.720與168的最小公倍數(shù)是

　　2⁴×3²×5×7＝5040.

　　例12 兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是180，最大公約數(shù)是30，已知其中一個(gè)數(shù)是90，另一個(gè)數(shù)是多少？

　　解：180＝2²×3²×5，

　　30＝2×3×5.

　　對(duì)同一質(zhì)因數(shù)來(lái)說，最小公倍數(shù)是在兩數(shù)中取次數(shù)較高的，而最大公約數(shù)是在兩數(shù)中取次數(shù)較低的，從2²與2就知道，一數(shù)中含2²，另一數(shù)中含2；從3²與3就知道，一數(shù)中含3²，另一數(shù)中含3，從一數(shù)是

　　90＝2×3²×5.

　　就知道另一數(shù)是

　　2²×3×5＝60.

　　還有一種解法：

　　另一數(shù)一定是最大公約數(shù)30的整數(shù)倍，也就是在下面這些數(shù)中去找

　　30， 60， 90， 120，….

　　這就需要逐一檢驗(yàn)，與90的最小公倍數(shù)是否是180，最大公約數(shù)是否是30.現(xiàn)在碰巧第二個(gè)數(shù)60就是.逐一去檢驗(yàn)，有時(shí)會(huì)較費(fèi)力.

　　例13 有一種最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)，它們的分子與分母的乘積都是420.如果把所有這樣的分?jǐn)?shù)從小到大排列，那么第三個(gè)分?jǐn)?shù)是多少？

　　解：把420分解質(zhì)因數(shù)

　　420＝2×2×3×5×7.

　　為了保證分子、分母不能約分（否則約分后，分子與分母的乘積不再是420了），相同質(zhì)因數(shù)（上面分解中的2），要么都在分子，要么都在分母，并且分子應(yīng)小于分母.分子從小到大排列是

　　1，3，4，5，7，12，15，20.

　　分子再大就要超過分母了，它們相應(yīng)的分?jǐn)?shù)是

　　兩個(gè)整數(shù)，如果它們的最大公約數(shù)是1.就稱這兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)的.

　　例13實(shí)質(zhì)上是把420分解成兩個(gè)互質(zhì)的整數(shù).

　　利用質(zhì)因數(shù)分解，把一個(gè)整數(shù)分解成若干個(gè)整數(shù)的乘積，是非常基本又是很有用的方法，再舉三個(gè)例題.