例12 要用天平稱(chēng)出1克、2克、3克……40克這些不同的整數(shù)克重量，至少要用多少個(gè)砝碼？這些砝碼的重量分別是多少？

分析與解：一般天平兩邊都可放砝碼，我們從最簡(jiǎn)單的情形開(kāi)始研究。

　　（1）稱(chēng)重1克，只能用一個(gè)1克的砝碼，故1克的一個(gè)砝碼是必須的。

　　（2）稱(chēng)重2克，有3種方案：

　　①增加一個(gè)1克的砝碼；

　　②用一個(gè)2克的砝碼；

　　③用一個(gè)3克的砝碼，稱(chēng)重時(shí)，把一個(gè)1克的砝碼放在稱(chēng)重盤(pán)內(nèi)，把3克的砝碼放在砝碼盤(pán)內(nèi)。從數(shù)學(xué)角度看，就是利用3-1=2。

　　（3）稱(chēng)重3克，用上面的②③兩個(gè)方案，不用再增加砝碼，因此方案①淘汰。

　　（4）稱(chēng)重4克，用上面的方案③，不用再增加砝碼，因此方案②也被淘汰。總之，用1克、3克兩個(gè)砝碼就可以稱(chēng)出（3+1）克以?xún)?nèi)的任意整數(shù)克重。

　　（5）接著思索可以進(jìn)行一次飛躍，稱(chēng)重5克時(shí)可以利用

　　9-（3+1）=5，

　　即用一個(gè)9克重的砝碼放在砝碼盤(pán)內(nèi)，1克、3克兩個(gè)砝碼放在稱(chēng)重盤(pán)內(nèi)。這樣，可以依次稱(chēng)到1+3+9=13（克）以?xún)?nèi)的任意整數(shù)克重。

　　而要稱(chēng)14克時(shí)，按上述規(guī)律增加一個(gè)砝碼，其重為

　　14+13=27（克），

　　可以稱(chēng)到1+3+9+27=40（克）以?xún)?nèi)的任意整數(shù)克重。

　　總之，砝碼的重量為1，3，3²，3³克時(shí)，所用砝碼最少，稱(chēng)重最大，這也是本題的答案。

　　這個(gè)結(jié)論顯然可以推廣，當(dāng)天平兩端都可放砝碼時(shí)，使用1，3，

　　這是使用砝碼最少、稱(chēng)重最大的砝碼重量設(shè)計(jì)方案。