例1 比較下面兩個(gè)積的大小：
A=987654321×123456789，
B=987654322×123456788.
分析 經(jīng)審題可知A的第一個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)字比B的第一個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)字小1，但A的第二個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)字比B的第二個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)字大1.所以不經(jīng)計(jì)算，憑直接觀察不容易知道A和B哪個(gè)大.但是無論是對(duì)A或是對(duì)B，直接把兩個(gè)因數(shù)相乘求積又太繁，所以我們開動(dòng)腦筋，將A和B先進(jìn)行恒等變形，再作判斷.
解： A=987654321×123456789
=987654321×(123456788+1)
=987654321×123456788+987654321.
B=987654322×123456788
=(987654321+1)×123456788
=987654321×123456788+123456788.
因?yàn)?987654321>123456788，所以 A>B.
例2 不用筆算，請(qǐng)你指出下面哪道題得數(shù)最大，并說明理由.
241×249 242×248 243×247
244×246 245×245.
解：利用乘法分配律，將各式恒等變形之后，再判斷.
241×249=(240+1)×(250—1)=240×250+1×9;
242×248=(240+2)×(250—2)=240×250+2×8;
243×247=(240+ 3)×(250— 3)= 240×250+3×7;
244×246=(240+4)×(250—4)=240×250+4×6;
245×245=(240+5)×(250— 5)=240×250+5×5.
恒等變形以后的各式有相同的部分 240 × 250，又有不同的部分 1×9， 2×8， 3×7， 4 ×6， 5×5，由此很容易看出 245×245的積最大.
一般說來，將一個(gè)整數(shù)拆成兩部分(或兩個(gè)整數(shù))，兩部分的差值越小時(shí)，這兩部分的乘積越大.
如：10=1+9=2+8=3+7=4+6=5+5
則5×5=25積最大.
例3 求 1966、 1976、 1986、 1996、 2006五個(gè)數(shù)的總和.
解：五個(gè)數(shù)中，后一個(gè)數(shù)都比前一個(gè)數(shù)大10，可看出1986是這五個(gè)數(shù)的平均值，故其總和為：
1986×5=9930.
例4 2、4、6、8、10、12…是連續(xù)偶數(shù)，如果五個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和是320，求它們中最小的一個(gè).
解：五個(gè)連續(xù)偶數(shù)的中間一個(gè)數(shù)應(yīng)為 320÷5=64，因相鄰偶數(shù)相差2，故這五個(gè)偶數(shù)依次是60、62、64、66、68，其中最小的是60.
總結(jié)以上兩題，可以概括為巧用中數(shù)的計(jì)算方法.三個(gè)連續(xù)自然數(shù)，中間一個(gè)數(shù)為首末兩數(shù)的平均值;五個(gè)連續(xù)自然數(shù)，中間的數(shù)也有類似的性質(zhì)——它是五個(gè)自然數(shù)的平均值.如果用字母表示更為明顯，這五個(gè)數(shù)可以記作：x-2、x—1、x、x+1、x+2.如此類推，對(duì)于奇數(shù)個(gè)連續(xù)自然數(shù)，最中間的數(shù)是所有這些自然數(shù)的平均值.
如：對(duì)于2n+1個(gè)連續(xù)自然數(shù)可以表示為：x—n，x—n+1，x-n+2，…， x—1， x， x+1，…x+n—1，x+n，其中 x是這2n+1個(gè)自然數(shù)的平均值.
巧用中數(shù)的計(jì)算方法，還可進(jìn)一步推廣，請(qǐng)看下面例題.
例5 將1～1001各數(shù)按下面格式排列：
一個(gè)正方形框出九個(gè)數(shù)，要使這九個(gè)數(shù)之和等于：
①1986，②2529，③1989，能否辦到?如果辦不到，請(qǐng)說明理由.
解：仔細(xì)觀察，方框中的九個(gè)數(shù)里，最中間的一個(gè)是這九個(gè)數(shù)的平均值，即中數(shù).又因橫行相鄰兩數(shù)相差1，是3個(gè)連續(xù)自然數(shù)，豎列3個(gè)數(shù)中，上下兩數(shù)相差7.框中的九個(gè)數(shù)之和應(yīng)是9的倍數(shù).
①1986不是9的倍數(shù)，故不行;
②2529÷9=281，是9的倍數(shù)，但是281÷7=40×7+1，這說明281在題中數(shù)表的最左一列，顯然它不能做中數(shù)，也不行;
③1989÷9=221，是9的倍數(shù)，且221÷7=31×7+4，這就是說221在數(shù)表中第四列，它可做中數(shù).這樣可求出所框九數(shù)之和為1989是辦得到的，且最大的數(shù)是229，最小的數(shù)是213.
這個(gè)例題是所謂的“月歷卡”上的數(shù)字問題的推廣.同學(xué)們，小小的月歷卡上還有那么多有趣的問題呢!所以平時(shí)要注意觀察，認(rèn)真思考，積累巧算經(jīng)驗(yàn).
