一天，小明做完作業(yè)正在休息，收音機(jī)中播放著輕松、悅耳的音樂.他拿了支筆，信手在紙上寫了“中”、“日”、“田”幾個(gè)字.突然，他腦子里閃出一個(gè)念頭，這幾個(gè)字都能一筆寫出來嗎?他試著寫了寫，“中”和“日”可以一筆寫成(沒有重復(fù)的筆劃)，但寫到“田”字，試來試去也沒有成功.下面是他寫的字樣.(見下圖)
這可真有意思!由此他又聯(lián)想到一些簡單的圖形，哪個(gè)能一筆畫成，哪個(gè)不能一筆畫成呢?下面是他試著畫的圖樣.(見下圖)
經(jīng)過反復(fù)試畫，小明得到了初步結(jié)論：圖中的(1)、(3)、(5)能一筆畫成;(2)、(4)、(6)不能一筆畫成.真奇怪!小明發(fā)現(xiàn)，簡單的筆畫少的圖不一定能一筆畫得出來.而復(fù)雜的筆畫多的圖有時(shí)反倒能夠一筆畫出來，這其中隱藏著什么奧秘呢?小明進(jìn)一步又提出了如下問題：
如果說一個(gè)圖形是否能一筆畫出不決定于圖的復(fù)雜程度，那么這事又決定于什么呢?
能不能找到一條判定法則，依據(jù)這條法則，對(duì)于一個(gè)圖形，不論復(fù)雜與否，也不用試畫，就能知道是不是能一筆畫成?
先從最簡單的圖形進(jìn)行考察.一些平面圖形是由點(diǎn)和線構(gòu)成的.這里所說的“線”，可以是直線段，也可以是一段曲線.而且為了明顯起見，圖中所有線的端點(diǎn)或是幾條線的交點(diǎn)都用較大的黑點(diǎn)“●”表示出來了.
首先不難發(fā)現(xiàn)，每個(gè)圖中的每一個(gè)點(diǎn)都有線與它相連;有的點(diǎn)與一條線相連，有的點(diǎn)與兩條線相連，有的點(diǎn)與3條線相連等等.
其次從前面的試畫過程中已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，一個(gè)圖能否一筆畫成不在于圖形是否復(fù)雜，也就是說不在于這個(gè)圖包含多少個(gè)點(diǎn)和多少條線，而在于點(diǎn)和線的連接情況如何——一個(gè)點(diǎn)在圖中究竟和幾條線相連.看來，這是需要仔細(xì)考察的.第一組(見下圖)
(1)兩個(gè)點(diǎn)，一條線.
每個(gè)點(diǎn)都只與一條線相連.
(2)三個(gè)點(diǎn).
兩個(gè)端點(diǎn)都只與一條線相連，中間點(diǎn)與兩條線連.
第一組的兩個(gè)圖都能一筆畫出來.
(但注意第(2)個(gè)圖必須從一個(gè)端點(diǎn)畫起)第二組(見下圖)
(1)五個(gè)點(diǎn)，五條線.
A點(diǎn)與一條線相連，B點(diǎn)與三條線相連，其他的點(diǎn)都各與兩條線相連.
(2)六個(gè)點(diǎn)，七條線.(“日”字圖)
A點(diǎn)與B點(diǎn)各與三條線相連，其他點(diǎn)都各與兩條線相連.
第二組的兩個(gè)圖也都能一筆畫出來，如箭頭所示那樣畫.即起點(diǎn)必需是A點(diǎn)(或B點(diǎn))，而終點(diǎn)則定是B點(diǎn)(或A點(diǎn)).
第三組(見下圖)
(1)四個(gè)點(diǎn)，三條線.
三個(gè)端點(diǎn)各與一條線相連，中間點(diǎn)與三條線相連.
(2)四個(gè)點(diǎn)，六條線.
每個(gè)點(diǎn)都與三條線相連.
(3)五個(gè)點(diǎn)，八條線.
點(diǎn)O與四條線相連，其他四個(gè)頂點(diǎn)各與三條線相連.
第三組的三個(gè)圖形都不能一筆畫出來.
第四組(見下圖)
(1)這個(gè)圖通常叫五角星.
五個(gè)角的頂點(diǎn)各與兩條線相連，其他各點(diǎn)都各與四條線相連.
(2)由一個(gè)圓及一個(gè)內(nèi)接三角形構(gòu)成.
三個(gè)交點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)都與四條線相連(這四條線是兩條線段和兩條弧線).
(3)一個(gè)正方形和一個(gè)內(nèi)切圓構(gòu)成.
正方形的四個(gè)頂點(diǎn)各與兩條線相連，四個(gè)交點(diǎn)各與四條線相連.
(四條線是兩條線段和兩條弧線).
第四組的三個(gè)圖雖然比較復(fù)雜，但每一個(gè)圖都可以一筆畫成，而且畫的時(shí)候從任何一點(diǎn)開始畫都可以.第五組(見下圖)
(1)這是“品”字圖形，它由三個(gè)正方形構(gòu)成，它們之間沒有線相連.
(2)這是古代的錢幣圖形，它是由一個(gè)圓形和中間的正方形方孔組成.圓和正方形之間沒有線相連.
第五組的兩個(gè)圖形叫不連通圖，顯然不能一筆把這樣的不連通圖畫出來.
進(jìn)行總結(jié)、歸納，看能否找出可以一筆畫成的圖形的共同特點(diǎn)，為方便起見，把點(diǎn)分為兩種，并分別定名：
把和一條、三條、五條等奇數(shù)條線相連的點(diǎn)叫做奇點(diǎn);把和兩條、四條、六條等偶數(shù)條線相連的點(diǎn)叫偶點(diǎn)，這樣圖中的要么是奇點(diǎn)，要么是偶點(diǎn).
提出猜想：一個(gè)圖能不能一筆畫成可能與它包含的奇點(diǎn)個(gè)數(shù)有關(guān)，對(duì)此列表詳查：
從此表來看，猜想是對(duì)的.下面試提出幾點(diǎn)初步結(jié)論：
①不連通的圖形必定不能一筆畫;能夠一筆畫成的圖形必定是連通圖形.
②有0個(gè)奇點(diǎn)(即全部是偶點(diǎn))的連通圖能夠一筆畫成.(畫時(shí)可以任一點(diǎn)為起點(diǎn)，最后又將回到該點(diǎn)).
③只有兩個(gè)奇點(diǎn)的連通圖也能一筆畫成(畫時(shí)必須以一個(gè)奇點(diǎn)為起點(diǎn)，而另一個(gè)奇點(diǎn)為終點(diǎn));
④奇點(diǎn)個(gè)數(shù)超過兩個(gè)的連通圖形不能一筆畫成.最后，綜合成一條判定法則：
有0個(gè)或2個(gè)奇點(diǎn)的連通圖能夠一筆畫成，否則不能一筆畫成.
能夠一筆畫成的圖形，叫做“一筆畫”.
用這條判定法則看一個(gè)圖形是不是一筆畫時(shí)，只要找出這個(gè)圖形的奇點(diǎn)的個(gè)數(shù)來就能行了，根本不必用筆試著畫來畫去.
看看下面的圖可能會(huì)加深你對(duì)這條法則的理解.
從畫圖的過程來看：筆總是先從起點(diǎn)出發(fā)，然后進(jìn)入下一個(gè)點(diǎn)，再出去，然后再進(jìn)出另外一些點(diǎn)，一直到最后進(jìn)入終點(diǎn)不再出來為止.由此可見：
①筆經(jīng)過的中間各點(diǎn)是有進(jìn)有出的，若經(jīng)過一次，該點(diǎn)就與兩條線相連，若經(jīng)過兩次則就與四條線相連等等，所以中間點(diǎn)必為偶點(diǎn).
②再看起點(diǎn)和終點(diǎn)，可分為兩種情況：如果筆無重復(fù)地畫完整個(gè)圖形時(shí)最后回到起點(diǎn)，終點(diǎn)和起點(diǎn)就重合了，那么這個(gè)重合點(diǎn)必成為偶點(diǎn)，這樣一來整個(gè)圖形的所有點(diǎn)必將都是偶點(diǎn)，或者說有0個(gè)奇點(diǎn);如果筆畫完整個(gè)圖形時(shí)最后回不到起點(diǎn)，就是終點(diǎn)和起點(diǎn)不重合，那么起點(diǎn)和終點(diǎn)必定都是奇點(diǎn)，因而該圖必有2個(gè)奇點(diǎn)，可見有0個(gè)或2個(gè)奇點(diǎn)的連通圖能夠一筆畫成.
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