我們把研究路程、速度、時(shí)間以及這三者之間關(guān)系的一類(lèi)問(wèn)題，總稱(chēng)為行程問(wèn)題.

　　在對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)接觸過(guò)一些簡(jiǎn)單的行程應(yīng)用題，并且已經(jīng)了解到：上述三個(gè)量之間存在這樣的基本關(guān)系：路程＝速度×時(shí)間.因此，在這一講中，我們將在前面學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，主要來(lái)研究行程問(wèn)題中較為復(fù)雜的一類(lèi)問(wèn)題——反向運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，也即在同一道路上的兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體作方向相反的運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題.它又包括相遇問(wèn)題和相背問(wèn)題.所謂相遇問(wèn)題，指的就是上述兩個(gè)物體以不同的點(diǎn)作為起點(diǎn)作相向運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題；所謂相背問(wèn)題，指的就是這兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體以同一點(diǎn)作為起點(diǎn)作背向運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，下面，我們來(lái)具體看幾個(gè)例子.

例1 甲、乙二人分別從相距30千米的兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，甲每小時(shí)走6千米，乙每小時(shí)走4千米，問(wèn)：二人幾小時(shí)后相遇？

　　分析 出發(fā)時(shí)甲、乙二人相距30千米，以后兩人的距離每小時(shí)都縮短6＋4＝10（千米），即兩人的速度的和（簡(jiǎn)稱(chēng)速度和），所以30千米里有幾個(gè)10千米就是幾小時(shí)相遇.

　　解：30÷（6＋4）

　　＝30÷10

　　＝3（小時(shí)）

　　答：3小時(shí)后兩人相遇.

　　例1是一個(gè)典型的相遇問(wèn)題.在相遇問(wèn)題中有這樣一個(gè)基本數(shù)量關(guān)系：

　　路程＝速度和×時(shí)間.

例2 一列貨車(chē)早晨6時(shí)從甲地開(kāi)往乙地，平均每小時(shí)行45千米，一列客車(chē)從乙地開(kāi)往甲地，平均每小時(shí)比貨車(chē)快15千米，已知客車(chē)比貨車(chē)遲發(fā)2小時(shí)，中午12時(shí)兩車(chē)同時(shí)經(jīng)過(guò)途中某站，然后仍繼續(xù)前進(jìn)，問(wèn)：當(dāng)客車(chē)到達(dá)甲地時(shí)，貨車(chē)離乙地還有多少千米？

　　分析 貨車(chē)每小時(shí)行45千米，客車(chē)每小時(shí)比貨車(chē)快15千米，所以，客車(chē)速度為每小時(shí)（45＋15）千米；中午12點(diǎn)兩車(chē)相遇時(shí)，貨車(chē)已行了（12—6）小時(shí)，而客車(chē)已行（12—6－2）小時(shí)，這樣就可求出甲、乙兩地之間的路程.最后，再來(lái)求當(dāng)客車(chē)行完全程到達(dá)甲地時(shí)，貨車(chē)離乙地的距離.

　　解：①甲、乙兩地之間的距離是：

　　 45×（12—6）＋（45＋15）×（12—6—2）

　　＝45×6＋60×4

　　＝510（千米）.

　　②客車(chē)行完全程所需的時(shí)間是：

　　 510÷（45＋15）

　　＝510÷60

　　＝8.5（小時(shí)）.

　　③客車(chē)到甲地時(shí)，貨車(chē)離乙地的距離：

　　 510—45×（8.5＋2）

　　＝510－472.5

　　＝37.5（千米）.

　　答：客車(chē)到甲地時(shí)，貨車(chē)離乙地還有37.5千米.

例3 兩列火車(chē)相向而行，甲車(chē)每小時(shí)行36千米，乙車(chē)每小時(shí)行54千米.兩車(chē)錯(cuò)車(chē)時(shí)，甲車(chē)上一乘客發(fā)現(xiàn)：從乙車(chē)車(chē)頭經(jīng)過(guò)他的車(chē)窗時(shí)開(kāi)始到乙車(chē)車(chē)尾經(jīng)過(guò)他的車(chē)窗共用了14秒，求乙車(chē)的車(chē)長(zhǎng).

　　分析 首先應(yīng)統(tǒng)一單位：甲車(chē)的速度是每秒鐘36000÷3600＝10（米），乙車(chē)的速度是每秒鐘54000÷3600＝15（米）.本題中，甲車(chē)的運(yùn)動(dòng)實(shí)際上可以看作是甲車(chē)乘客以每秒鐘10米的速度在運(yùn)動(dòng)，乙車(chē)的運(yùn)動(dòng)則可以看作是乙車(chē)車(chē)頭的運(yùn)動(dòng)，因此，我們只需研究下面這樣一個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程即可：從乙車(chē)車(chē)頭經(jīng)過(guò)甲車(chē)乘客的車(chē)窗這一時(shí)刻起，乙車(chē)車(chē)頭和甲車(chē)乘客開(kāi)始作反向運(yùn)動(dòng)14秒，每一秒鐘，乙車(chē)車(chē)頭與甲車(chē)乘客之間的距離都增大（10＋15）米，因此，14秒結(jié)束時(shí)，車(chē)頭與乘客之間的距離為（10＋15）×14＝350（米）.又因?yàn)榧总?chē)乘客最后看到的是乙車(chē)車(chē)尾，所以，乙車(chē)車(chē)頭與甲車(chē)乘客在這段時(shí)間內(nèi)所走的路程之和應(yīng)恰等于乙車(chē)車(chē)身的長(zhǎng)度，即：乙車(chē)車(chē)長(zhǎng)就等于甲、乙兩車(chē)在14秒內(nèi)所走的路程之和.

　　解：（10＋15）×14

　　 ＝350（米）

　　答：乙車(chē)的車(chē)長(zhǎng)為350米.

　　我們也可以把例3稱(chēng)為一個(gè)相背運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，對(duì)于相背問(wèn)題而言，相遇問(wèn)題中的基本關(guān)系仍然成立.

例4 甲、乙兩車(chē)同時(shí)從A、B兩地出發(fā)相向而行，兩車(chē)在離B地64千米處第一次相遇.相遇后兩車(chē)仍以原速繼續(xù)行駛，并且在到達(dá)對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后，立即沿原路返回，途中兩車(chē)在距A地48千米處第二次相遇，問(wèn)兩次相遇點(diǎn)相距多少千米？

　　分析 甲、乙兩車(chē)共同走完一個(gè)AB全程時(shí)，乙車(chē)走了64千米，從上圖可以看出：它們到第二次相遇時(shí)共走了3個(gè)AB全程，因此，我們可以理解為乙車(chē)共走了3個(gè)64千米，再由上圖可知：減去一個(gè)48千米后，正好等于一個(gè)AB全程.

　　解：①AB間的距離是

　　 64×3－48

　　＝192－48

　　＝144（千米）.

　　②兩次相遇點(diǎn)的距離為

　　 144—48－64

　　＝32（千米）.

　　答：兩次相遇點(diǎn)的距離為32千米.

例5 甲、乙二人從相距100千米的A、B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，甲騎車(chē)，乙步行，在行走過(guò)程中，甲的車(chē)發(fā)生故障，修車(chē)用了1小時(shí).在出發(fā)4小時(shí)后，甲、乙二人相遇，又已知甲的速度為乙的2倍，且相遇時(shí)甲的車(chē)已修好，那么，甲、乙二人的速度各是多少？

　　分析 甲的速度為乙的2倍，因此，乙走4小時(shí)的路，甲只要2小時(shí)就可以了，因此，甲走100千米所需的時(shí)間為（4—1＋4÷2）＝5小時(shí).這樣就可求出甲的速度.

　　解：甲的速度為：

　　100÷（4－1＋4÷2）

　　＝10O÷5＝20（千米/小時(shí)）.

　　乙的速度為：20÷2＝10（千米/小時(shí)）.

　　答：甲的速度為20千米/小時(shí)，乙的速度為10千米/小時(shí).

例6 某列車(chē)通過(guò)250米長(zhǎng)的隧道用25秒，通過(guò)210米長(zhǎng)的隧道用23秒，若該列車(chē)與另一列長(zhǎng)150米.時(shí)速為72千米的列車(chē)相遇，錯(cuò)車(chē)而過(guò)需要幾秒鐘？

　　分析 解這類(lèi)應(yīng)用題，首先應(yīng)明確幾個(gè)概念：列車(chē)通過(guò)隧道指的是從車(chē)頭進(jìn)入隧道算起到車(chē)尾離開(kāi)隧道為止.因此，這個(gè)過(guò)程中列車(chē)所走的路程等于車(chē)長(zhǎng)加隧道長(zhǎng)；兩車(chē)相遇，錯(cuò)車(chē)而過(guò)指的是從兩個(gè)列車(chē)的車(chē)頭相遇算起到他們的車(chē)尾分開(kāi)為止，這個(gè)過(guò)程實(shí)際上是一個(gè)以車(chē)頭的相遇點(diǎn)為起點(diǎn)的相背運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，這兩個(gè)列車(chē)在這段時(shí)間里所走的路程之和就等于他們的車(chē)長(zhǎng)之和.因此，錯(cuò)車(chē)時(shí)間就等于車(chē)長(zhǎng)之和除以速度之和.

　　列車(chē)通過(guò)250米的隧道用25秒，通過(guò)210米長(zhǎng)的隧道用23秒，所以列車(chē)行駛的路程為（250—210）米時(shí)，所用的時(shí)間為（25—23）秒.由此可求得列車(chē)的車(chē)速為（250—210）÷（25—23）＝20（米/秒）.再根據(jù)前面的分析可知：列車(chē)在25秒內(nèi)所走的路程等于隧道長(zhǎng)加上車(chē)長(zhǎng)，因此，這個(gè)列車(chē)的車(chē)長(zhǎng)為20×25—250＝250（米），從而可求出錯(cuò)車(chē)時(shí)間.

　　解：根據(jù)另一個(gè)列車(chē)每小時(shí)走72千米，所以，它的速度為：

　　72000÷3600＝20（米/秒），

　　某列車(chē)的速度為：

　　（25O－210）÷（25－23）＝40÷2＝20（米/秒）

　　某列車(chē)的車(chē)長(zhǎng)為：

　　20×25-250＝500-250＝250（米），

　　兩列車(chē)的錯(cuò)車(chē)時(shí)間為：

　　（250＋150）÷（20＋20）＝400÷40＝10（秒）.

　　答：錯(cuò)車(chē)時(shí)間為10秒.

例7 甲、乙、丙三輛車(chē)同時(shí)從A地出發(fā)到B地去，甲、乙兩車(chē)的速度分別為每小時(shí)60千米和48千米，有一輛迎面開(kāi)來(lái)的卡車(chē)分別在它們出發(fā)后的5小時(shí).6小時(shí)，8小時(shí)先后與甲、乙、丙三輛車(chē)相遇，求丙車(chē)的速度.

　　分析 甲車(chē)每小時(shí)比乙車(chē)快60-48＝12（千米）.則5小時(shí)后，甲比乙多走的路程為12×5＝60（千米）.也即在卡車(chē)與甲相遇時(shí)，卡車(chē)與乙的距離為60千米，又因?yàn)榭ㄜ?chē)與乙在卡車(chē)與甲相遇的6-5＝1小時(shí)后相遇，所以，可求出卡車(chē)的速度為60÷1-48＝12（千米/小時(shí)）

　　卡車(chē)在與甲相遇后，再走8-5＝3（小時(shí)）才能與丙相遇，而此時(shí)丙已走了8個(gè)小時(shí)，因此，卡車(chē)3小時(shí)所走的路程與丙8小時(shí)所走的路程之和就等于甲5小時(shí)所走的路程.由此，丙的速度也可求得，應(yīng)為：

　　（60×5-12×3）÷8＝33（千米/小時(shí)）.

　　解：卡車(chē)的速度：

　　（60-48）×5÷（6－5）－48＝12（千米/小時(shí)），

　　丙車(chē)的速度：

　　（60×5－12×3）÷8＝33（千米/小時(shí)），

　　答：丙車(chē)的速度為每小時(shí)33千米.

　　注：在本講中出現(xiàn)的“米/秒”、“千米/小時(shí)”等都是速度單位，如5米/秒表示為每秒鐘走5米.